Задача 1. Найдите координаты и длину вектора \(\vec{b}\), если \(\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{d}\), \(\vec{c}\{6; -2\}\), \(\vec{d}\{1; -2\}\).
Решение:
1. Сначала найдем координаты вектора \(\frac{1}{2}\vec{c}\).
Для этого каждую координату вектора \(\vec{c}\) умножим на \(\frac{1}{2}\).
Вектор \(\vec{c}\) имеет координаты \(\{6; -2\}\).
Координаты вектора \(\frac{1}{2}\vec{c}\) будут:
\[ \frac{1}{2}\vec{c} = \left\{ \frac{1}{2} \cdot 6; \frac{1}{2} \cdot (-2) \right\} = \{3; -1\} \]2. Теперь найдем координаты вектора \(\vec{b}\) по формуле \(\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{d}\).
Для этого из соответствующих координат вектора \(\frac{1}{2}\vec{c}\) вычтем координаты вектора \(\vec{d}\).
Вектор \(\frac{1}{2}\vec{c}\) имеет координаты \(\{3; -1\}\).
Вектор \(\vec{d}\) имеет координаты \(\{1; -2\}\).
Координаты вектора \(\vec{b}\) будут:
\[ \vec{b} = \{3 - 1; -1 - (-2)\} \] \[ \vec{b} = \{2; -1 + 2\} \] \[ \vec{b} = \{2; 1\} \]Итак, координаты вектора \(\vec{b}\) равны \(\{2; 1\}\).
3. Найдем длину вектора \(\vec{b}\).
Длина вектора с координатами \(\{x; y\}\) вычисляется по формуле: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Для вектора \(\vec{b}\{2; 1\}\) длина будет:
\[ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2} \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{4 + 1} \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{5} \]Длина вектора \(\vec{b}\) равна \(\sqrt{5}\).
Ответ: Координаты вектора \(\vec{b}\) равны \(\{2; 1\}\), длина вектора \(\vec{b}\) равна \(\sqrt{5}\).