Задача 23. Найдите обратную матрицу к матрице \(A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\).
Для нахождения обратной матрицы \(A^{-1}\) к матрице \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) используется формула:
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]Сначала найдем определитель матрицы \(A\):
\[\det(A) = ad - bc\] \[\det(A) = (2)(0) - (-2)(4) = 0 - (-8) = 8\]Теперь подставим значения в формулу для обратной матрицы:
\[A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 0 & -(-2) \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}\]Умножим каждый элемент матрицы на \(\frac{1}{8}\):
\[A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{0}{8} & \frac{2}{8} \\ \frac{-4}{8} & \frac{2}{8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0,25 \\ -0,5 & 0,25 \end{pmatrix}\]Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это вариант а).
Ответ: а) \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0,25 \\ -0,5 & 0,25 \end{pmatrix}\)
Задача 24. Выберите треугольную матрицу из числа предложенных:
Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы либо выше главной диагонали, либо ниже главной диагонали равны нулю.
Различают два типа треугольных матриц:
- Верхняя треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
- Нижняя треугольная матрица: все элементы выше главной диагонали равны нулю.
Рассмотрим предложенные варианты:
а) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
В этой матрице все элементы ниже главной диагонали (элементы \(a_{21}\), \(a_{31}\), \(a_{32}\)) равны нулю. Это верхняя треугольная матрица.
б) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)
Элемент \(a_{31} = 1\), что не равно нулю. Это не треугольная матрица.
в) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
Элемент \(a_{33} = 0\), но это не определяет треугольность. Элемент \(a_{32} = 1\), а должен быть нулем для нижней треугольной, или \(a_{23} = 0\) для верхней треугольной. В данном случае, \(a_{32} = 1\) и \(a_{23} = 0\). Это не треугольная матрица, так как не все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.
г) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Элементы \(a_{13} = 1\) и \(a_{31} = 1\), что не равно нулю. Это не треугольная матрица.
Таким образом, только матрица в варианте а) является треугольной.
Ответ: а) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Задача 25. Укажите матрицу \(A^T\), если матрица \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\).
Транспонированная матрица \(A^T\) получается из исходной матрицы \(A\) путем замены строк на столбцы (или столбцов на строки). То есть, если исходная матрица \(A\) имеет размерность \(m \times n\), то транспонированная матрица \(A^T\) будет иметь размерность \(n \times m\).
Дана матрица \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\).
Первая строка матрицы \(A\) это \((1 \quad 0)\). Она станет первым столбцом матрицы \(A^T\).
Вторая строка матрицы \(A\) это \((2 \quad 3)\). Она станет вторым столбцом матрицы \(A^T\).
Третья строка матрицы \(A\) это \((-1 \quad 4)\). Она станет третьим столбцом матрицы \(A^T\).
Таким образом, транспонированная матрица \(A^T\) будет:
\[A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}\]Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это вариант б).
Ответ: б) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}\)