Задача 1.19: Напряженность электрического поля в центре кольца

Задача 1.19. Две половины тонкого кольца радиусом \(R\) заряжены разноименными зарядами с линейными плотностями заряда \(\lambda\) и \(-\lambda\). Определите напряженность \(\vec{E}\) электрического поля в центре кольца. Решение: Представим кольцо как две полукольца. Пусть одно полукольцо (например, верхнее) заряжено с линейной плотностью \(\lambda\), а другое (нижнее) — с линейной плотностью \(-\lambda\). Рассмотрим элемент длины \(dl\) полукольца, расположенный под углом \(\theta\) к оси, проходящей через центр кольца и перпендикулярной линии раздела полуколец. Длина элемента \(dl = R d\theta\). Заряд элемента \(dq = \lambda dl = \lambda R d\theta\). Напряженность электрического поля, создаваемая этим элементом заряда в центре кольца, равна: \[dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda R d\theta}{R^2} = \frac{\lambda d\theta}{4\pi\varepsilon_0 R}\] Направление вектора \(d\vec{E}\) от элемента заряда к центру, если заряд положительный, и к элементу заряда от центра, если заряд отрицательный. Из соображений симметрии, горизонтальные составляющие напряженности поля от симметричных элементов заряда будут компенсировать друг друга. Останутся только вертикальные составляющие. Пусть ось \(y\) проходит через центр кольца и перпендикулярна линии раздела полуколец (например, направлена вверх). Тогда вертикальная составляющая \(dE_y = dE \sin\theta\). Горизонтальная составляющая \(dE_x = dE \cos\theta\). Рассмотрим верхнее полукольцо (с зарядом \(\lambda\)). Угол \(\theta\) изменяется от \(0\) до \(\pi\). Для верхнего полукольца, если мы расположим его так, что линия раздела проходит по оси \(x\), а полукольцо находится в верхней полуплоскости, то для каждого элемента \(dq\) на полукольце, вектор \(d\vec{E}\) будет направлен от элемента к центру. Если мы выберем ось \(y\) перпендикулярно линии раздела полуколец, то для верхнего полукольца (с \(\lambda\)) вектор \(d\vec{E}\) будет направлен от элемента к центру. Проекция \(d\vec{E}\) на ось \(y\) (направленную от линии раздела к положительно заряженному полукольцу) будет \(dE_y = dE \sin\theta\). Интегрируем по верхнему полукольцу от \(0\) до \(\pi\): \[E_{y, \lambda} = \int_0^{\pi} \frac{\lambda \sin\theta d\theta}{4\pi\varepsilon_0 R} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta\] \[\int_0^{\pi} \sin\theta d\theta = [-\cos\theta]_0^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2\] Значит, напряженность от верхнего полукольца: \[E_{y, \lambda} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \cdot 2 = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}\] Этот вектор направлен от положительно заряженного полукольца. Теперь рассмотрим нижнее полукольцо (с зарядом \(-\lambda\)). Для этого полукольца вектор \(d\vec{E}\) будет направлен к элементу заряда от центра. Проекция \(d\vec{E}\) на ось \(y\) (направленную от линии раздела к положительно заряженному полукольцу) будет \(dE_y = dE \sin\theta\). Однако, поскольку заряд отрицательный, то \(dq = -\lambda R d\theta\). \[dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|dq|}{R^2} = \frac{\lambda d\theta}{4\pi\varepsilon_0 R}\] Но направление вектора \(d\vec{E}\) будет противоположным по сравнению с положительным зарядом. Если мы интегрируем от \(0\) до \(\pi\) для нижнего полукольца, то вектор \(d\vec{E}\) будет направлен к элементу заряда. Его проекция на ось \(y\) будет \(dE_y = -dE \sin\theta\). \[E_{y, -\lambda} = \int_0^{\pi} \frac{-\lambda \sin\theta d\theta}{4\pi\varepsilon_0 R} = -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta\] \[E_{y, -\lambda} = -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \cdot 2 = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}\] Этот вектор направлен к отрицательно заряженному полукольцу, то есть в том же направлении, что и вектор от положительно заряженного полукольца. Суммарная напряженность поля в центре кольца будет суммой напряженностей от двух полуколец. \[E_y = E_{y, \lambda} + E_{y, -\lambda} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R} + \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R} = \frac{2\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R} = \frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0 R}\] Вектор \(\vec{E}\) направлен перпендикулярно линии раздела полуколец, от положительно заряженного полукольца к отрицательно заряженному. Окончательный ответ: Модуль напряженности электрического поля в центре кольца равен: \[E = \frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0 R}\] Вектор напряженности \(\vec{E}\) направлен перпендикулярно линии раздела полуколец, от положительно заряженного полукольца к отрицательно заряженному.