Решение: Нахождение производной функции y = 3x^2 - 4x - 1

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

Задача 1

К сожалению, первая задача видна не полностью. Видно только: \[y = 3x^2 - 4x + 2 - 3\] И, возможно, что-то ещё, что не попало в кадр. Если это просто функция, то, скорее всего, нужно найти её производную или интеграл. Предположим, что нужно найти производную.

Решение

Дана функция: \[y = 3x^2 - 4x + 2 - 3\] Упростим её: \[y = 3x^2 - 4x - 1\] Чтобы найти производную \(y'\), используем правила дифференцирования: 1. Производная от \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\). 2. Производная от константы равна 0. 3. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных. Применяем эти правила: \[y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x - 1)\] \[y' = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(1)\] \[y' = 3 \cdot 2x^{2-1} - 4 \cdot 1x^{1-1} - 0\] \[y' = 6x - 4 \cdot 1 - 0\] \[y' = 6x - 4\]

Ответ

\[y' = 6x - 4\]

Задача 2

Найти интеграл: \[\int (2x^3 - 2) dx\]

Решение

Для нахождения неопределенного интеграла используем следующие правила: 1. Интеграл от суммы/разности функций равен сумме/разности их интегралов: \(\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\). 2. Интеграл от \(x^n\) равен \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (для \(n \neq -1\)). 3. Интеграл от константы \(k\) равен \(kx + C\). Применяем эти правила: \[\int (2x^3 - 2) dx = \int 2x^3 dx - \int 2 dx\] Выносим константы за знак интеграла: \[= 2 \int x^3 dx - 2 \int 1 dx\] Вычисляем каждый интеграл: \[\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = \frac{x^4}{4} + C_1\] \[\int 1 dx = x + C_2\] Подставляем обратно: \[= 2 \left(\frac{x^4}{4}\right) - 2(x) + C\] (где \(C\) - это общая константа интегрирования, объединяющая \(2C_1 - 2C_2\)) Упрощаем выражение: \[= \frac{2x^4}{4} - 2x + C\] \[= \frac{x^4}{2} - 2x + C\]

Ответ

\[\int (2x^3 - 2) dx = \frac{x^4}{2} - 2x + C\]

Задача 3

Найти предел: \[\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{x^2-25}\]

Решение

Сначала попробуем подставить \(x=5\) в выражение: \[\frac{5-5}{5^2-25} = \frac{0}{25-25} = \frac{0}{0}\] Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Это означает, что мы можем упростить выражение, разложив числитель и знаменатель на множители. Знаменатель \(x^2 - 25\) является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). В нашем случае \(a=x\) и \(b=5\), поэтому: \[x^2 - 25 = (x-5)(x+5)\] Теперь подставим это в предел: \[\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}\] Так как \(x \to 5\), но \(x \neq 5\), мы можем сократить множитель \((x-5)\) в числителе и знаменателе: \[\lim_{x \to 5} \frac{1}{x+5}\] Теперь подставим \(x=5\) в упрощенное выражение: \[\frac{1}{5+5} = \frac{1}{10}\]

Ответ

\[\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{x^2-25} = \frac{1}{10}\]

Задача 4

Найти \(dy\) если \(\frac{dy}{dx} = 6x\).

Решение

Дано, что производная функции \(y\) по \(x\) равна \(6x\): \[\frac{dy}{dx} = 6x\] Чтобы найти \(dy\), нужно умножить обе части уравнения на \(dx\). Это действие называется разделением переменных. \[dy = 6x \, dx\] Это выражение представляет собой дифференциал функции \(y\). Если бы требовалось найти саму функцию \(y\), то нужно было бы проинтегрировать обе части: \[\int dy = \int 6x \, dx\] \[y = 6 \int x \, dx\] \[y = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C\] \[y = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C\] \[y = 3x^2 + C\] Но в задаче спрашивается только \(dy\).

Ответ

\[dy = 6x \, dx\]

Задача 5

Найти интеграл: \[\int (3 \sin x - x^2) dx\]

Решение

Для нахождения неопределенного интеграла используем правила, аналогичные задаче 2: 1. Интеграл от суммы/разности функций равен сумме/разности их интегралов. 2. Интеграл от \(x^n\) равен \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). 3. Интеграл от \(\sin x\) равен \(-\cos x + C\). Применяем эти правила: \[\int (3 \sin x - x^2) dx = \int 3 \sin x \, dx - \int x^2 \, dx\] Выносим константу за знак интеграла: \[= 3 \int \sin x \, dx - \int x^2 \, dx\] Вычисляем каждый интеграл: \[\int \sin x \, dx = -\cos x + C_1\] \[\int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = \frac{x^3}{3} + C_2\] Подставляем обратно: \[= 3(-\cos x) - \frac{x^3}{3} + C\] (где \(C\) - это общая константа интегрирования, объединяющая \(3C_1 - C_2\)) Упрощаем выражение: \[= -3 \cos x - \frac{x^3}{3} + C\]

Ответ

\[\int (3 \sin x - x^2) dx = -3 \cos x - \frac{x^3}{3} + C\]