Решение задачи: Найти производную функции y = 5x² - 4x + 2 - 3sin(x)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Найти производную функции: Дана функция: \[y = 5x^2 - 4x + 2 - 3 \sin x\] Нам нужно найти \(y'\). Для этого воспользуемся правилами дифференцирования: * Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных: \((f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\). * Производная степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\). * Производная константы: \((C)' = 0\). * Производная функции \((Cx)' = C\). * Производная синуса: \((\sin x)' = \cos x\). Применяем эти правила: \[y' = (5x^2)' - (4x)' + (2)' - (3 \sin x)'\] \[y' = 5 \cdot (x^2)' - 4 \cdot (x)' + 0 - 3 \cdot (\sin x)'\] \[y' = 5 \cdot 2x^{2-1} - 4 \cdot 1 + 0 - 3 \cos x\] \[y' = 10x - 4 - 3 \cos x\] Ответ: \[y' = 10x - 4 - 3 \cos x\] 2. Вычислить неопределенный интеграл: \[\int (2x^3 - 2) dx\] Для вычисления интеграла воспользуемся свойствами интегралов: * Интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) их интегралов: \(\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\). * Интеграл степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n \neq -1\). * Интеграл константы: \(\int C dx = Cx + C_1\). Применяем эти правила: \[\int (2x^3 - 2) dx = \int 2x^3 dx - \int 2 dx\] \[= 2 \int x^3 dx - 2 \int dx\] \[= 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 2x + C\] \[= 2 \cdot \frac{x^4}{4} - 2x + C\] \[= \frac{x^4}{2} - 2x + C\] Ответ: \[\frac{x^4}{2} - 2x + C\] 3. Вычислить предел: \[\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{x^2-25}\] Сначала попробуем подставить \(x=5\) в выражение: \[\frac{5-5}{5^2-25} = \frac{0}{25-25} = \frac{0}{0}\] Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Это означает, что мы можем упростить выражение, разложив знаменатель на множители. Знаменатель \(x^2-25\) является разностью квадратов, которую можно разложить как \((x-5)(x+5)\). Тогда выражение примет вид: \[\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}\] Так как \(x \to 5\), но \(x \neq 5\), мы можем сократить множитель \((x-5)\) в числителе и знаменателе: \[\lim_{x \to 5} \frac{1}{x+5}\] Теперь подставим \(x=5\) в упрощенное выражение: \[\frac{1}{5+5} = \frac{1}{10}\] Ответ: \[\frac{1}{10}\] 4. Найти функцию \(y\), если дана ее производная: Дано: \[\frac{dy}{dx} = 6x\] Это означает, что производная функции \(y\) по \(x\) равна \(6x\). Чтобы найти саму функцию \(y\), нужно взять неопределенный интеграл от \(6x\). \[y = \int 6x dx\] Воспользуемся правилами интегрирования: \[y = 6 \int x dx\] \[y = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C\] \[y = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C\] \[y = 3x^2 + C\] Здесь \(C\) - произвольная постоянная интегрирования. Ответ: \[y = 3x^2 + C\] 5. Вычислить неопределенный интеграл: \[\int (3 \sin x - x^2) dx\] Воспользуемся свойствами интегралов: * Интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) их интегралов: \(\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\). * Интеграл степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n \neq -1\). * Интеграл синуса: \(\int \sin x dx = -\cos x + C\). Применяем эти правила: \[\int (3 \sin x - x^2) dx = \int 3 \sin x dx - \int x^2 dx\] \[= 3 \int \sin x dx - \int x^2 dx\] \[= 3 \cdot (-\cos x) - \frac{x^{2+1}}{2+1} + C\] \[= -3 \cos x - \frac{x^3}{3} + C\] Ответ: \[-3 \cos x - \frac{x^3}{3} + C\]