Решение задачи: Найти производную функции y = 5x² - 4x + 2 - 3sin(x)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Найти производную функции: Дана функция: \(y = 5x^2 - 4x + 2 - 3 \sin x\) Найти: \(y'\) Решение: Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования: * Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных: \((f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\) * Производная степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\) * Производная константы: \((C)' = 0\) * Производная функции \(\sin x\): \((\sin x)' = \cos x\) Применяем эти правила к каждому члену функции: * \((5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x^{2-1} = 10x\) * \((-4x)' = -4 \cdot (x)' = -4 \cdot 1 = -4\) * \((2)' = 0\) * \((-3 \sin x)' = -3 \cdot (\sin x)' = -3 \cos x\) Собираем все производные вместе: \(y' = 10x - 4 + 0 - 3 \cos x\) \(y' = 10x - 4 - 3 \cos x\) Ответ: \(y' = 10x - 4 - 3 \cos x\) 2. Вычислить неопределенный интеграл: Найти: \(\int (2x^3 - 2) dx\) Решение: Для вычисления неопределенного интеграла воспользуемся свойствами интегралов: * Интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) их интегралов: \(\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\) * Интеграл степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n \neq -1\) * Интеграл константы: \(\int C dx = Cx + C_1\) Применяем эти правила: \(\int (2x^3 - 2) dx = \int 2x^3 dx - \int 2 dx\) Вычисляем каждый интеграл отдельно: * \(\int 2x^3 dx = 2 \int x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C_1 = \frac{x^4}{2} + C_1\) * \(\int 2 dx = 2x + C_2\) Собираем результаты: \(\int (2x^3 - 2) dx = \frac{x^4}{2} - 2x + C\) (где \(C = C_1 - C_2\)) Ответ: \(\int (2x^3 - 2) dx = \frac{x^4}{2} - 2x + C\) 3. Вычислить предел функции: Найти: \(\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{x^2-25}\) Решение: Сначала попробуем подставить \(x=5\) в выражение: \(\frac{5-5}{5^2-25} = \frac{0}{25-25} = \frac{0}{0}\) Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Это означает, что можно упростить выражение, разложив знаменатель на множители. Знаменатель \(x^2 - 25\) является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\) Теперь подставим это в выражение предела: \(\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}\) Так как \(x \to 5\), но \(x \neq 5\), мы можем сократить множитель \((x-5)\) в числителе и знаменателе: \(\lim_{x \to 5} \frac{1}{x+5}\) Теперь подставим \(x=5\) в упрощенное выражение: \(\frac{1}{5+5} = \frac{1}{10}\) Ответ: \(\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{x^2-25} = \frac{1}{10}\) 4. Найти функцию по ее производной: Дано: \(\frac{dy}{dx} = 6x\) Найти: \(y\) Решение: Уравнение \(\frac{dy}{dx} = 6x\) означает, что производная функции \(y\) по \(x\) равна \(6x\). Чтобы найти саму функцию \(y\), нужно взять неопределенный интеграл от \(6x\). \(y = \int 6x dx\) Используем правило интегрирования степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) \(y = 6 \int x^1 dx = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C\) \(y = 3x^2 + C\) Ответ: \(y = 3x^2 + C\) 5. Вычислить неопределенный интеграл: Найти: \(\int (3 \sin x - x^2) dx\) Решение: Для вычисления неопределенного интеграла воспользуемся свойствами интегралов: * Интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) их интегралов: \(\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\) * Интеграл функции \(\sin x\): \(\int \sin x dx = -\cos x + C\) * Интеграл степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) Применяем эти правила: \(\int (3 \sin x - x^2) dx = \int 3 \sin x dx - \int x^2 dx\) Вычисляем каждый интеграл отдельно: * \(\int 3 \sin x dx = 3 \int \sin x dx = 3 \cdot (-\cos x) + C_1 = -3 \cos x + C_1\) * \(\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = \frac{x^3}{3} + C_2\) Собираем результаты: \(\int (3 \sin x - x^2) dx = -3 \cos x - \frac{x^3}{3} + C\) (где \(C = C_1 - C_2\)) Ответ: \(\int (3 \sin x - x^2) dx = -3 \cos x - \frac{x^3}{3} + C\)