Задача 1. Вычислить повторный интеграл.
Дан интеграл:
\[ \int_{0}^{1} dy \int_{1}^{y+1} 3xy \, dx \]Сначала вычислим внутренний интеграл по \(x\), считая \(y\) константой:
\[ \int_{1}^{y+1} 3xy \, dx \]Выносим константу \(3y\) за знак интеграла:
\[ 3y \int_{1}^{y+1} x \, dx \]Интеграл от \(x\) по \(dx\) равен \( \frac{x^2}{2} \):
\[ 3y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{y+1} \]Теперь подставим пределы интегрирования:
\[ 3y \left( \frac{(y+1)^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) \] \[ 3y \left( \frac{y^2 + 2y + 1}{2} - \frac{1}{2} \right) \] \[ 3y \left( \frac{y^2 + 2y}{2} \right) \] \[ \frac{3y}{2} (y^2 + 2y) \] \[ \frac{3}{2} (y^3 + 2y^2) \]Теперь подставим этот результат во внешний интеграл по \(y\):
\[ \int_{0}^{1} \frac{3}{2} (y^3 + 2y^2) \, dy \]Выносим константу \( \frac{3}{2} \) за знак интеграла:
\[ \frac{3}{2} \int_{0}^{1} (y^3 + 2y^2) \, dy \]Вычисляем интеграл от каждого слагаемого:
\[ \frac{3}{2} \left[ \frac{y^4}{4} + 2 \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} \]Подставляем пределы интегрирования. При подстановке нижнего предела (0) оба слагаемых обратятся в ноль, поэтому достаточно подставить только верхний предел (1):
\[ \frac{3}{2} \left( \frac{1^4}{4} + 2 \frac{1^3}{3} \right) \] \[ \frac{3}{2} \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right) \]Приводим дроби в скобках к общему знаменателю (12):
\[ \frac{3}{2} \left( \frac{3}{12} + \frac{8}{12} \right) \] \[ \frac{3}{2} \left( \frac{11}{12} \right) \]Перемножаем:
\[ \frac{3 \cdot 11}{2 \cdot 12} = \frac{33}{24} \]Сокращаем дробь на 3:
\[ \frac{11}{8} \]Ответ к задаче 1:
\[ \frac{11}{8} \]Задача 2. Вычислить двойной интеграл по заданной области.
Дан интеграл:
\[ \iint_{D} x \, dxdy \]Область интегрирования \(D\) задана графически. Из рисунка видно, что область \(D\) представляет собой прямоугольник, ограниченный линиями:
- По оси \(x\): от \(x=1\) до \(x=2\)
- По оси \(y\): от \(y=0\) до \(y=1\)
Таким образом, пределы интегрирования будут:
- Для \(x\): от 1 до 2
- Для \(y\): от 0 до 1
Мы можем записать двойной интеграл как повторный:
\[ \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} x \, dxdy \]Сначала вычислим внутренний интеграл по \(x\):
\[ \int_{1}^{2} x \, dx \]Интеграл от \(x\) по \(dx\) равен \( \frac{x^2}{2} \):
\[ \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} \]Подставляем пределы интегрирования:
\[ \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \] \[ \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \] \[ 2 - \frac{1}{2} \] \[ \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]Теперь подставим этот результат во внешний интеграл по \(y\):
\[ \int_{0}^{1} \frac{3}{2} \, dy \]Выносим константу \( \frac{3}{2} \) за знак интеграла:
\[ \frac{3}{2} \int_{0}^{1} 1 \, dy \]Интеграл от 1 по \(dy\) равен \(y\):
\[ \frac{3}{2} [y]_{0}^{1} \]Подставляем пределы интегрирования:
\[ \frac{3}{2} (1 - 0) \] \[ \frac{3}{2} \cdot 1 \] \[ \frac{3}{2} \]Ответ к задаче 2:
\[ \frac{3}{2} \]