Решение уравнений:
1) \(x^2 - x - 12 = 0\)
Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-1\), \(c=-12\).
Найдем дискриминант \(D\):
\(D = b^2 - 4ac\)
\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)\)
\(D = 1 + 48\)
\(D = 49\)
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни \(x_1\) и \(x_2\):
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}\)
\(x_1 = \frac{1 + 7}{2}\)
\(x_1 = \frac{8}{2}\)
\(x_1 = 4\)
\(x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}\)
\(x_2 = \frac{1 - 7}{2}\)
\(x_2 = \frac{-6}{2}\)
\(x_2 = -3\)
Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -3\)
2) \(x^2 - 3x - 18 = 0\)
Это квадратное уравнение, где \(a=1\), \(b=-3\), \(c=-18\).
Найдем дискриминант \(D\):
\(D = b^2 - 4ac\)
\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)\)
\(D = 9 + 72\)
\(D = 81\)
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни \(x_1\) и \(x_2\):
\(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1}\)
\(x_1 = \frac{3 + 9}{2}\)
\(x_1 = \frac{12}{2}\)
\(x_1 = 6\)
\(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1}\)
\(x_2 = \frac{3 - 9}{2}\)
\(x_2 = \frac{-6}{2}\)
\(x_2 = -3\)
Ответ: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -3\)
3) \(2x^2 - 7x - 9 = 0\)
Это квадратное уравнение, где \(a=2\), \(b=-7\), \(c=-9\).
Найдем дискриминант \(D\):
\(D = b^2 - 4ac\)
\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9)\)
\(D = 49 + 72\)
\(D = 121\)
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни \(x_1\) и \(x_2\):
\(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2}\)
\(x_1 = \frac{7 + 11}{4}\)
\(x_1 = \frac{18}{4}\)
\(x_1 = \frac{9}{2}\)
\(x_1 = 4.5\)
\(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2}\)
\(x_2 = \frac{7 - 11}{4}\)
\(x_2 = \frac{-4}{4}\)
\(x_2 = -1\)
Ответ: \(x_1 = 4.5\), \(x_2 = -1\)
4) \(x^2 + 11x + 24 = 0\)
Это квадратное уравнение, где \(a=1\), \(b=11\), \(c=24\).
Найдем дискриминант \(D\):
\(D = b^2 - 4ac\)
\(D = (11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24\)
\(D = 121 - 96\)
\(D = 25\)
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни \(x_1\) и \(x_2\):
\(x_1 = \frac{-11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}\)
\(x_1 = \frac{-11 + 5}{2}\)
\(x_1 = \frac{-6}{2}\)
\(x_1 = -3\)
\(x_2 = \frac{-11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}\)
\(x_2 = \frac{-11 - 5}{2}\)
\(x_2 = \frac{-16}{2}\)
\(x_2 = -8\)
Ответ: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -8\)
5) \(x^2 - 24 = -5x\)
Сначала приведем уравнение к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\):
\(x^2 + 5x - 24 = 0\)
Это квадратное уравнение, где \(a=1\), \(b=5\), \(c=-24\).
Найдем дискриминант \(D\):
\(D = b^2 - 4ac\)
\(D = (5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)\)
\(D = 25 + 96\)
\(D = 121\)
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни \(x_1\) и \(x_2\):
\(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1}\)
\(x_1 = \frac{-5 + 11}{2}\)
\(x_1 = \frac{6}{2}\)
\(x_1 = 3\)
\(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1}\)
\(x_2 = \frac{-5 - 11}{2}\)
\(x_2 = \frac{-16}{2}\)
\(x_2 = -8\)
Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -8\)
6) \(x^3 + 6x^2 = 9x + 54\)
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:
\(x^3 + 6x^2 - 9x - 54 = 0\)
Сгруппируем члены и вынесем общие множители:
\((x^3 + 6x^2) - (9x + 54) = 0\)
\(x^2(x + 6) - 9(x + 6) = 0\)
Вынесем общий множитель \((x + 6)\):
\((x + 6)(x^2 - 9) = 0\)
Разложим \((x^2 - 9)\) как разность квадратов \((a^2 - b^2 = (a-b)(a+b))\):
\((x + 6)(x - 3)(x + 3) = 0\)
Теперь приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:
\(x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -6\)
\(x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3\)
\(x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3\)
Ответ: \(x_1 = -6\), \(x_2 = 3\), \(x_3 = -3\)