Задача 3. Один конец пружинки жесткостью 100 Н/м привязан к потолку лифта, а к другому концу привязана гирька массой 100 г. Определить величину ускорения лифта, если пружинка удлинилась при движении лифта на 0,2 см.
Дано:
Жесткость пружины \(k = 100 \, \text{Н/м}\)
Масса гирьки \(m = 100 \, \text{г}\)
Удлинение пружины \(\Delta x = 0,2 \, \text{см}\)
Ускорение свободного падения \(g \approx 10 \, \text{м/с}^2\)
Найти:
Ускорение лифта \(a\)
Решение:
Сначала переведем все величины в систему СИ:
Масса гирьки: \(m = 100 \, \text{г} = 0,1 \, \text{кг}\)
Удлинение пружины: \(\Delta x = 0,2 \, \text{см} = 0,002 \, \text{м}\)
Рассмотрим силы, действующие на гирьку.
На гирьку действуют две силы:
- Сила тяжести, направленная вниз: \(F_т = mg\)
- Сила упругости пружины, направленная вверх: \(F_у = k \Delta x\)
При движении лифта с ускорением, второй закон Ньютона для гирьки будет выглядеть так:
\[F_{результирующая} = ma\]
Возможны два случая движения лифта: вверх или вниз.
Случай 1: Лифт движется вверх с ускорением \(a\).
В этом случае сила упругости больше силы тяжести, и результирующая сила направлена вверх.
\[F_у - F_т = ma\]
\[k \Delta x - mg = ma\]
Выразим ускорение \(a\):
\[a = \frac{k \Delta x - mg}{m}\]
Подставим значения:
\[a = \frac{100 \, \text{Н/м} \cdot 0,002 \, \text{м} - 0,1 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2}{0,1 \, \text{кг}}\]
\[a = \frac{0,2 \, \text{Н} - 1 \, \text{Н}}{0,1 \, \text{кг}}\]
\[a = \frac{-0,8 \, \text{Н}}{0,1 \, \text{кг}}\]
\[a = -8 \, \text{м/с}^2\]
Отрицательное значение ускорения означает, что наше предположение о движении лифта вверх с ускорением неверно, или лифт движется вверх, но замедляется (ускорение направлено вниз).
Случай 2: Лифт движется вниз с ускорением \(a\).
В этом случае сила тяжести больше силы упругости, и результирующая сила направлена вниз.
\[F_т - F_у = ma\]
\[mg - k \Delta x = ma\]
Выразим ускорение \(a\):
\[a = \frac{mg - k \Delta x}{m}\]
Подставим значения:
\[a = \frac{0,1 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 - 100 \, \text{Н/м} \cdot 0,002 \, \text{м}}{0,1 \, \text{кг}}\]
\[a = \frac{1 \, \text{Н} - 0,2 \, \text{Н}}{0,1 \, \text{кг}}\]
\[a = \frac{0,8 \, \text{Н}}{0,1 \, \text{кг}}\]
\[a = 8 \, \text{м/с}^2\]
Положительное значение ускорения означает, что лифт движется вниз с ускорением \(8 \, \text{м/с}^2\).
Ответ:
Величина ускорения лифта составляет \(8 \, \text{м/с}^2\). Лифт движется вниз с этим ускорением.