Решение задачи 1.1: Разность потенциалов конденсатора

Задача 1.1 Условие: Какова разность потенциалов между двумя пластинами отклоняющего конденсатора, расположенными на расстоянии \(d = 2\) см, если электрон в электрическом поле конденсатора приобрел скорость \(v = 1,5 \cdot 10^4\) м/с, пройдя путь \(l = 3\) мм? Решение: 1. Запишем известные величины и переведем их в систему СИ: Расстояние между пластинами конденсатора: \(d = 2\) см \( = 0,02\) м. Скорость электрона: \(v = 1,5 \cdot 10^4\) м/с. Путь, пройденный электроном: \(l = 3\) мм \( = 0,003\) м. Заряд электрона: \(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\) Кл (это табличное значение). Масса электрона: \(m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}\) кг (это табличное значение). 2. Нам нужно найти разность потенциалов \(\Delta\varphi\) (или \(U\)) между пластинами конденсатора. 3. При движении электрона в электрическом поле конденсатора, работа электрического поля идет на изменение кинетической энергии электрона. Работа электрического поля \(A\) может быть выражена как: \[A = e \cdot \Delta\varphi_l\] где \(\Delta\varphi_l\) - разность потенциалов, пройденная электроном на пути \(l\). 4. Изменение кинетической энергии электрона: \[\Delta K = \frac{1}{2} m_e v^2 - \frac{1}{2} m_e v_0^2\] Предполагаем, что электрон начал движение из состояния покоя, то есть начальная скорость \(v_0 = 0\). Тогда: \[\Delta K = \frac{1}{2} m_e v^2\] 5. По закону сохранения энергии, работа электрического поля равна изменению кинетической энергии: \[A = \Delta K\] \[e \cdot \Delta\varphi_l = \frac{1}{2} m_e v^2\] 6. Разность потенциалов \(\Delta\varphi_l\) на пути \(l\) связана с общей разностью потенциалов \(\Delta\varphi\) между пластинами конденсатора и расстоянием между ними \(d\). Электрическое поле в конденсаторе считается однородным, поэтому: \[E = \frac{\Delta\varphi}{d}\] Также, разность потенциалов на пути \(l\) в однородном поле: \[\Delta\varphi_l = E \cdot l\] Подставим выражение для \(E\): \[\Delta\varphi_l = \frac{\Delta\varphi}{d} \cdot l\] 7. Теперь подставим это выражение для \(\Delta\varphi_l\) в уравнение из пункта 5: \[e \cdot \frac{\Delta\varphi}{d} \cdot l = \frac{1}{2} m_e v^2\] 8. Выразим искомую разность потенциалов \(\Delta\varphi\): \[\Delta\varphi = \frac{m_e v^2 d}{2 e l}\] 9. Подставим численные значения: \[\Delta\varphi = \frac{(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (1,5 \cdot 10^4 \text{ м/с})^2 \cdot (0,02 \text{ м})}{2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (0,003 \text{ м})}\] 10. Вычислим: \[(1,5 \cdot 10^4)^2 = 2,25 \cdot 10^8\] \[\Delta\varphi = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 2,25 \cdot 10^8 \cdot 0,02}{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 0,003}\] \[\Delta\varphi = \frac{9,1 \cdot 2,25 \cdot 0,02 \cdot 10^{-31+8}}{3,2 \cdot 0,003 \cdot 10^{-19}}\] \[\Delta\varphi = \frac{0,4095 \cdot 10^{-23}}{0,0096 \cdot 10^{-19}}\] \[\Delta\varphi = \frac{0,4095}{0,0096} \cdot 10^{-23 - (-19)}\] \[\Delta\varphi = 42,65625 \cdot 10^{-4}\] \[\Delta\varphi \approx 0,004266 \text{ В}\] 11. Округлим до более удобного значения, например, до двух значащих цифр: \[\Delta\varphi \approx 4,3 \cdot 10^{-3} \text{ В}\] Или: \[\Delta\varphi \approx 4,3 \text{ мВ}\] Ответ: Разность потенциалов между пластинами конденсатора составляет примерно \(4,3 \cdot 10^{-3}\) В (или \(4,3\) мВ).