Задача 1.23: Сила взаимодействия кольца и нити

Задача 2 1.23. Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса \(R\) и очень длинной однородно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд \(q\). На единицу длины нити приходится заряд \(\lambda\). Найдите величину силы, с которой кольцо действует на нить. Решение: 1. Определим электрическое поле, создаваемое заряженным кольцом на его оси. Пусть ось кольца совпадает с осью \(x\). Центр кольца находится в начале координат. Напряженность электрического поля, создаваемого заряженным кольцом радиуса \(R\) с зарядом \(q\) на расстоянии \(x\) от его центра вдоль оси, дается формулой: \[E(x) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}\] где \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная. 2. Рассмотрим нить. Нить очень длинная и расположена по оси кольца, начиная от центра кольца. Это означает, что нить простирается от \(x=0\) до \(x=\infty\). На единицу длины нити приходится заряд \(\lambda\). Рассмотрим малый элемент нити длиной \(dx\) на расстоянии \(x\) от центра кольца. Заряд этого элемента будет \(dq_{нити} = \lambda dx\). 3. Сила, действующая на этот малый элемент нити со стороны кольца, будет: \[dF = E(x) \cdot dq_{нити} = E(x) \cdot \lambda dx\] Подставим выражение для \(E(x)\): \[dF = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \lambda dx\] 4. Чтобы найти полную силу, действующую на нить, необходимо проинтегрировать \(dF\) по всей длине нити, то есть от \(x=0\) до \(x=\infty\): \[F = \int_{0}^{\infty} dF = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q\lambda x}{(R^2 + x^2)^{3/2}} dx\] Вынесем константы из-под интеграла: \[F = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(R^2 + x^2)^{3/2}} dx\] 5. Вычислим интеграл. Для этого сделаем замену переменной. Пусть \(u = R^2 + x^2\). Тогда \(du = 2x dx\), или \(x dx = \frac{1}{2} du\). Изменим пределы интегрирования: При \(x=0\), \(u = R^2 + 0^2 = R^2\). При \(x=\infty\), \(u = R^2 + \infty^2 = \infty\). Интеграл примет вид: \[\int_{R^2}^{\infty} \frac{1}{u^{3/2}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{R^2}^{\infty} u^{-3/2} du\] Вычислим неопределенный интеграл: \[\int u^{-3/2} du = \frac{u^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{u}}\] Теперь подставим пределы интегрирования: \[\frac{1}{2} \left[ -\frac{2}{\sqrt{u}} \right]_{R^2}^{\infty} = \frac{1}{2} \left( -\frac{2}{\sqrt{\infty}} - \left(-\frac{2}{\sqrt{R^2}}\right) \right)\] \[= \frac{1}{2} \left( 0 - \left(-\frac{2}{R}\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}\] 6. Подставим результат интеграла обратно в выражение для силы \(F\): \[F = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{R}\] \[F = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}\] Ответ: Величина силы, с которой кольцо действует на нить, равна: \[F = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}\]