Определение порядка полюса функции f(z) = 1/(2 - 2cos(z))

Вот решение задачи: Вопрос: Определить порядок полюса \(z = 0\) функции \[f(z) = \frac{1}{2 - 2 \cos z}\] Решение: Для того чтобы определить порядок полюса \(z = 0\), нам нужно разложить знаменатель функции в ряд Тейлора в окрестности точки \(z = 0\). Известно разложение функции \(\cos z\) в ряд Маклорена (ряд Тейлора в окрестности \(z = 0\)): \[\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \dots\] Теперь подставим это разложение в знаменатель нашей функции: \[2 - 2 \cos z = 2 - 2 \left(1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \dots\right)\] \[2 - 2 \cos z = 2 - 2 + 2 \frac{z^2}{2!} - 2 \frac{z^4}{4!} + 2 \frac{z^6}{6!} - \dots\] \[2 - 2 \cos z = 2 \frac{z^2}{2} - 2 \frac{z^4}{24} + 2 \frac{z^6}{720} - \dots\] \[2 - 2 \cos z = z^2 - \frac{z^4}{12} + \frac{z^6}{360} - \dots\] Мы можем вынести \(z^2\) за скобки: \[2 - 2 \cos z = z^2 \left(1 - \frac{z^2}{12} + \frac{z^4}{360} - \dots\right)\] Теперь подставим это обратно в функцию \(f(z)\): \[f(z) = \frac{1}{z^2 \left(1 - \frac{z^2}{12} + \frac{z^4}{360} - \dots\right)}\] Мы можем записать это в виде: \[f(z) = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z^2}{12} + \frac{z^4}{360} - \dots}\] Пусть \(g(z) = \frac{1}{1 - \frac{z^2}{12} + \frac{z^4}{360} - \dots}\). При \(z = 0\), \(g(0) = \frac{1}{1 - 0 + 0 - \dots} = 1\). Так как \(g(0) \neq 0\) и \(g(z)\) является аналитической функцией в окрестности \(z = 0\), то функция \(f(z)\) имеет полюс в точке \(z = 0\). Порядок полюса определяется наименьшей степенью \(z\) в знаменателе, которая не сокращается с числителем. В нашем случае, это \(z^2\). Следовательно, порядок полюса \(z = 0\) равен 2. Ваш ответ: 2