Хорошо, я решу задачи из "Варианта 1".
Вариант 1
Задача 1
Отрезки \(KE\) и \(MN\) пересекаются в точке \(O\), так что отрезок \(KM\) параллелен отрезку \(NE\). Докажите, что треугольники \(KMO\) и \(NEO\) подобны. Найдите \(KM\), если \(ON=6\) см, \(MO=12\) см, \(NE=18\) см.
Решение:
1. Докажем подобие треугольников \(KMO\) и \(NEO\).
Так как \(KM\) параллелен \(NE\), то:
* Углы \(\angle KMO\) и \(\angle ENO\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(KM\) и \(NE\) и секущей \(MN\). Следовательно, \(\angle KMO = \angle ENO\).
* Углы \(\angle MKO\) и \(\angle NEO\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(KM\) и \(NE\) и секущей \(KE\). Следовательно, \(\angle MKO = \angle NEO\).
* Углы \(\angle KOM\) и \(\angle NOE\) являются вертикальными. Следовательно, \(\angle KOM = \angle NOE\).
Поскольку все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то треугольники \(KMO\) и \(NEO\) подобны по трем углам (или по двум углам, так как третий угол будет равен автоматически).
2. Найдем \(KM\).
Из подобия треугольников \(KMO\) и \(NEO\) следует, что отношения соответствующих сторон равны:
\[\frac{KM}{NE} = \frac{MO}{ON} = \frac{KO}{OE}\]
Нам известны \(ON=6\) см, \(MO=12\) см, \(NE=18\) см.
Используем отношение:
\[\frac{KM}{NE} = \frac{MO}{ON}\]
Подставим известные значения:
\[\frac{KM}{18} = \frac{12}{6}\]
Упростим правую часть:
\[\frac{KM}{18} = 2\]
Чтобы найти \(KM\), умножим обе части уравнения на 18:
\[KM = 2 \cdot 18\]
\[KM = 36 \text{ см}\]
Ответ: \(KM = 36\) см.
Задача 2
В подобных треугольниках \(ABC\) и \(KMT\) стороны \(AB\) и \(KM\) являются сходственными. Найдите стороны треугольника \(KMT\), если \(AB=4\) см, \(BC=6\) см, \(CA=8\) см, \(KM:AB=1,6\). Найдите отношение площадей треугольников.
Решение:
1. Найдем стороны треугольника \(KMT\).
Так как треугольники \(ABC\) и \(KMT\) подобны, и стороны \(AB\) и \(KM\) являются сходственными, то коэффициент подобия \(k\) равен отношению сходственных сторон.
Дано \(KM:AB=1,6\), значит, \(k = \frac{KM}{AB} = 1,6\).
Стороны треугольника \(ABC\): \(AB=4\) см, \(BC=6\) см, \(CA=8\) см.
Соответствующие стороны треугольника \(KMT\) будут:
* \(KM = k \cdot AB = 1,6 \cdot 4 = 6,4\) см
* \(MT = k \cdot BC = 1,6 \cdot 6 = 9,6\) см
* \(TK = k \cdot CA = 1,6 \cdot 8 = 12,8\) см
2. Найдем отношение площадей треугольников.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
\[\frac{S_{KMT}}{S_{ABC}} = k^2\]
\[\frac{S_{KMT}}{S_{ABC}} = (1,6)^2\]
\[\frac{S_{KMT}}{S_{ABC}} = 2,56\]
Ответ: Стороны треугольника \(KMT\) равны \(KM=6,4\) см, \(MT=9,6\) см, \(TK=12,8\) см. Отношение площадей треугольников \(\frac{S_{KMT}}{S_{ABC}} = 2,56\).
Задача 3
На сторонах \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(K\) и \(E\) так, что \(AK=KB\), \(BE=CE\), \(KE=6\) см. Найдите сторону \(AC\).
Решение:
1. Определим положение точек \(K\) и \(E\).
Дано, что \(AK=KB\). Это означает, что точка \(K\) является серединой стороны \(AB\).
Дано, что \(BE=CE\). Это означает, что точка \(E\) является серединой стороны \(BC\).
2. Применим свойство средней линии треугольника.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.
В данном случае, \(KE\) является средней линией треугольника \(ABC\), так как она соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\).
Следовательно, \(KE\) параллельна \(AC\) и \(KE = \frac{1}{2} AC\).
3. Найдем сторону \(AC\).
Нам известно, что \(KE=6\) см.
Используем формулу средней линии:
\[KE = \frac{1}{2} AC\]
Подставим значение \(KE\):
\[6 = \frac{1}{2} AC\]
Чтобы найти \(AC\), умножим обе части уравнения на 2:
\[AC = 6 \cdot 2\]
\[AC = 12 \text{ см}\]
Ответ: \(AC = 12\) см.
Задача 4
Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 4 шагам. На какой высоте в метрах расположен фонарь?
Решение:
1. Сделаем схематический рисунок.
Представим столб с фонарем как вертикальный отрезок \(FH\), где \(F\) - фонарь, \(H\) - основание столба.
Человек \(CD\) стоит на расстоянии от столба. \(C\) - голова человека, \(D\) - ноги человека.
Тень человека \(DE\) падает от человека. \(E\) - конец тени.
Точки \(H\), \(D\), \(E\) лежат на одной прямой (земле).
Треугольник \(FHE\) (образованный фонарем, основанием столба и концом тени) и треугольник \(CDE\) (образованный человеком и его тенью) подобны.
Это подобие следует из того, что оба треугольника прямоугольные (столб и человек стоят перпендикулярно земле) и имеют общий угол \(\angle E\) (угол падения лучей света).
2. Обозначим известные величины.
Рост человека \(CD = 1,7\) м.
Расстояние от человека до столба \(HD = 8\) шагов.
Длина тени человека \(DE = 4\) шага.
Высота фонаря \(FH\) - это то, что нужно найти.
3. Найдем общее расстояние от столба до конца тени.
Расстояние от столба до конца тени \(HE = HD + DE = 8 \text{ шагов} + 4 \text{ шага} = 12 \text{ шагов}\).
4. Используем подобие треугольников.
Из подобия треугольников \(FHE\) и \(CDE\) следует отношение соответствующих сторон:
\[\frac{FH}{CD} = \frac{HE}{DE}\]
Подставим известные значения:
\[\frac{FH}{1,7} = \frac{12 \text{ шагов}}{4 \text{ шага}}\]
Упростим правую часть:
\[\frac{FH}{1,7} = 3\]
Чтобы найти \(FH\), умножим обе части уравнения на 1,7:
\[FH = 3 \cdot 1,7\]
\[FH = 5,1 \text{ м}\]
Ответ: Фонарь расположен на высоте 5,1 м.
Задача 5
Площади двух подобных треугольников \(ABC\) и \(MNK\) равны 25 и 16. Найдите сторону \(AC\), если сходственная ей сторона \(MK\) другого треугольника равна 2.
Решение:
1. Определим отношение площадей и коэффициент подобия.
Даны площади подобных треугольников \(S_{ABC} = 25\) и \(S_{MNK} = 16\).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \(k\):
\[\frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = k^2\]
Подставим значения площадей:
\[\frac{25}{16} = k^2\]
Чтобы найти коэффициент подобия \(k\), извлечем квадратный корень из обеих частей:
\[k = \sqrt{\frac{25}{16}}\]
\[k = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}\]
\[k = \frac{5}{4}\]
Значит, коэффициент подобия \(k = 1,25\).
2. Найдем сторону \(AC\).
Дано, что \(AC\) и \(MK\) - сходственные стороны.
Мы знаем, что отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия:
\[\frac{AC}{MK} = k\]
Нам известно \(MK = 2\).
Подставим значения \(k\) и \(MK\):
\[\frac{AC}{2} = \frac{5}{4}\]
Чтобы найти \(AC\), умножим обе части уравнения на 2:
\[AC = \frac{5}{4} \cdot 2\]
\[AC = \frac{10}{4}\]
\[AC = 2,5\]
Ответ: Сторона \(AC = 2,5\).
