Определение порядка полюса z=i функции f(z) = 1/(z + z^3)

Вопрос: Определить порядок полюса \(z = i\) функции \(f(z) = \frac{1}{z + z^3}\). Решение: 1. Найдем корни знаменателя функции \(f(z)\). Знаменатель равен \(z + z^3\). Приравняем его к нулю: \[z + z^3 = 0\] Вынесем \(z\) за скобки: \[z(1 + z^2) = 0\] Отсюда получаем корни: \[z_1 = 0\] \[1 + z^2 = 0 \Rightarrow z^2 = -1 \Rightarrow z = \pm \sqrt{-1} \Rightarrow z_2 = i, z_3 = -i\] Таким образом, у функции есть три полюса: \(z=0\), \(z=i\) и \(z=-i\). 2. Нам нужно определить порядок полюса \(z = i\). Для этого представим знаменатель в виде произведения множителей: \[z + z^3 = z(1 + z^2) = z(z - i)(z + i)\] Тогда функция \(f(z)\) может быть записана как: \[f(z) = \frac{1}{z(z - i)(z + i)}\] 3. Чтобы определить порядок полюса \(z = i\), мы можем использовать следующую формулу: Полюс \(z_0\) имеет порядок \(m\), если функция может быть представлена в виде \(f(z) = \frac{\phi(z)}{(z - z_0)^m}\), где \(\phi(z)\) аналитична в точке \(z_0\) и \(\phi(z_0) \neq 0\). В нашем случае \(z_0 = i\). Мы можем переписать \(f(z)\) следующим образом: \[f(z) = \frac{1}{z(z + i)} \cdot \frac{1}{(z - i)^1}\] Здесь \(\phi(z) = \frac{1}{z(z + i)}\). 4. Проверим условия для \(\phi(z)\) в точке \(z = i\): а) \(\phi(z)\) аналитична в точке \(z = i\)? Знаменатель \(\phi(z)\) равен \(z(z + i)\). В точке \(z = i\), знаменатель равен \(i(i + i) = i(2i) = 2i^2 = -2\). Так как знаменатель не равен нулю, \(\phi(z)\) аналитична в точке \(z = i\). б) \(\phi(i) \neq 0\)? \(\phi(i) = \frac{1}{i(i + i)} = \frac{1}{i(2i)} = \frac{1}{2i^2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\). Так как \(\phi(i) = -\frac{1}{2} \neq 0\), условия выполнены. 5. Из представления \(f(z) = \frac{\phi(z)}{(z - i)^1}\) видно, что степень множителя \((z - i)\) в знаменателе равна 1. Следовательно, порядок полюса \(z = i\) равен 1. Ваш ответ: 1