Решение: Для какой функции z=π - полюс первого порядка?

Вопрос: Для какой функции точка \(z = \pi\) будет полюсом первого порядка? Варианты ответа: 1. \(f(z) = \frac{z}{\sin z}\) 2. \(f(z) = \frac{z - \pi}{\sin z}\) 3. \(f(z) = \frac{1}{\sin^2 z}\) Решение: Для того чтобы точка \(z_0\) была полюсом первого порядка для функции \(f(z)\), должны выполняться два условия: 1. Функция \(f(z)\) должна быть аналитической в некоторой проколотой окрестности точки \(z_0\). 2. Предел \(\lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)\) должен существовать и быть конечным и отличным от нуля. Рассмотрим каждый вариант: Вариант 1: \(f(z) = \frac{z}{\sin z}\) Точка \(z = \pi\) является нулем знаменателя, так как \(\sin \pi = 0\). Проверим предел: \[ \lim_{z \to \pi} (z - \pi) f(z) = \lim_{z \to \pi} (z - \pi) \frac{z}{\sin z} \] Мы можем переписать это как: \[ \lim_{z \to \pi} z \cdot \frac{z - \pi}{\sin z} \] Известно, что \(\sin z = \sin (\pi - (z - \pi))\). Поскольку \(\sin(\pi - x) = \sin x\), то \(\sin z = \sin (z - \pi)\). Тогда предел становится: \[ \lim_{z \to \pi} z \cdot \frac{z - \pi}{\sin (z - \pi)} \] Используем замечательный предел \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1\). Пусть \(x = z - \pi\). Когда \(z \to \pi\), \(x \to 0\). \[ \lim_{z \to \pi} z \cdot \lim_{z \to \pi} \frac{z - \pi}{\sin (z - \pi)} = \pi \cdot 1 = \pi \] Так как предел равен \(\pi\) (конечное число, не равное нулю), то точка \(z = \pi\) является полюсом первого порядка для функции \(f(z) = \frac{z}{\sin z}\). Вариант 2: \(f(z) = \frac{z - \pi}{\sin z}\) Точка \(z = \pi\) является нулем как числителя, так и знаменателя. Это может быть устранимая особая точка или полюс более высокого порядка. Проверим предел: \[ \lim_{z \to \pi} (z - \pi) f(z) = \lim_{z \to \pi} (z - \pi) \frac{z - \pi}{\sin z} = \lim_{z \to \pi} \frac{(z - \pi)^2}{\sin z} \] Снова используем \(\sin z = \sin (z - \pi)\). \[ \lim_{z \to \pi} \frac{(z - \pi)^2}{\sin (z - \pi)} = \lim_{z \to \pi} (z - \pi) \cdot \frac{z - \pi}{\sin (z - \pi)} \] \[ = \lim_{z \to \pi} (z - \pi) \cdot \lim_{z \to \pi} \frac{z - \pi}{\sin (z - \pi)} = 0 \cdot 1 = 0 \] Так как предел равен 0, то \(z = \pi\) не является полюсом первого порядка. В данном случае, это устранимая особая точка. Вариант 3: \(f(z) = \frac{1}{\sin^2 z}\) Точка \(z = \pi\) является нулем знаменателя, так как \(\sin^2 \pi = 0\). Проверим предел: \[ \lim_{z \to \pi} (z - \pi) f(z) = \lim_{z \to \pi} (z - \pi) \frac{1}{\sin^2 z} = \lim_{z \to \pi} \frac{z - \pi}{\sin^2 z} \] Снова используем \(\sin z = \sin (z - \pi)\). \[ \lim_{z \to \pi} \frac{z - \pi}{\sin^2 (z - \pi)} = \lim_{z \to \pi} \frac{1}{\frac{\sin^2 (z - \pi)}{z - \pi}} \] \[ = \lim_{z \to \pi} \frac{1}{\frac{\sin (z - \pi)}{z - \pi} \cdot \sin (z - \pi)} \] \[ = \frac{1}{1 \cdot 0} = \frac{1}{0} \] Этот предел равен бесконечности. Это означает, что \(z = \pi\) является полюсом, но не первого порядка. Чтобы определить порядок полюса, нужно рассмотреть предел \(\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z)\). Для \(m=2\): \[ \lim_{z \to \pi} (z - \pi)^2 \frac{1}{\sin^2 z} = \lim_{z \to \pi} \left( \frac{z - \pi}{\sin z} \right)^2 = \left( \lim_{z \to \pi} \frac{z - \pi}{\sin (z - \pi)} \right)^2 = 1^2 = 1 \] Так как предел равен 1 (конечное число, не равное нулю), то \(z = \pi\) является полюсом второго порядка для функции \(f(z) = \frac{1}{\sin^2 z}\). Вывод: Только для функции \(f(z) = \frac{z}{\sin z}\) точка \(z = \pi\) является полюсом первого порядка. Ответ: Функция, для которой точка \(z = \pi\) будет полюсом первого порядка, это: \(f(z) = \frac{z}{\sin z}\)