Определение существенно особой точки z=2

Решение задачи: Вопрос: Для какой функции точка \(z = 2\) является существенно особой точкой? Для того чтобы определить, является ли точка \(z_0\) существенно особой точкой для функции \(f(z)\), необходимо рассмотреть разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки. Если главная часть ряда Лорана (часть с отрицательными степенями \((z - z_0)\)) содержит бесконечное число ненулевых членов, то точка \(z_0\) является существенно особой. Рассмотрим предложенные функции: 1. Функция: \(f(z) = \frac{\sin(z - 2)}{(z - 2)^2}\) Разложим \(\sin(z - 2)\) в ряд Тейлора в окрестности \(z_0 = 2\): \[\sin(z - 2) = (z - 2) - \frac{(z - 2)^3}{3!} + \frac{(z - 2)^5}{5!} - \dots\] Тогда функция \(f(z)\) будет иметь вид: \[f(z) = \frac{(z - 2) - \frac{(z - 2)^3}{3!} + \frac{(z - 2)^5}{5!} - \dots}{(z - 2)^2}\] \[f(z) = \frac{1}{z - 2} - \frac{z - 2}{3!} + \frac{(z - 2)^3}{5!} - \dots\] Главная часть ряда Лорана содержит только один член: \(\frac{1}{z - 2}\). Это означает, что точка \(z = 2\) является полюсом первого порядка. 2. Функция: \(f(z) = \frac{z}{z - 2}\) Перепишем функцию, выделив \((z - 2)\) в числителе: \[f(z) = \frac{z - 2 + 2}{z - 2} = 1 + \frac{2}{z - 2}\] Главная часть ряда Лорана содержит только один член: \(\frac{2}{z - 2}\). Это означает, что точка \(z = 2\) является полюсом первого порядка. 3. Функция: \(f(z) = e^{\frac{1}{z - 2}}\) Разложим экспоненциальную функцию \(e^w\) в ряд Тейлора: \[e^w = 1 + w + \frac{w^2}{2!} + \frac{w^3}{3!} + \dots\] Подставим \(w = \frac{1}{z - 2}\): \[f(z) = e^{\frac{1}{z - 2}} = 1 + \frac{1}{z - 2} + \frac{1}{2!(z - 2)^2} + \frac{1}{3!(z - 2)^3} + \dots\] Главная часть ряда Лорана (часть с отрицательными степенями \((z - 2)\)) содержит бесконечное число ненулевых членов: \(\frac{1}{z - 2}, \frac{1}{2!(z - 2)^2}, \frac{1}{3!(z - 2)^3}, \dots\). Это означает, что точка \(z = 2\) является существенно особой точкой для данной функции. Вывод: Точка \(z = 2\) является существенно особой точкой для функции \(f(z) = e^{\frac{1}{z - 2}}\). Ответ: Правильный вариант ответа: \(f(z) = e^{\frac{1}{z - 2}}\).