Вычисление предела функции z^2/sin^2(z) при z->0

Вопрос: Вычислить \[ \left[ \frac{z^2}{\sin^2 z}; z=0 \right] \] Решение: Нам нужно вычислить предел функции \( f(z) = \frac{z^2}{\sin^2 z} \) при \( z \to 0 \). Подставим \( z=0 \) в функцию: \[ \frac{0^2}{\sin^2 0} = \frac{0}{0} \] Это неопределенность вида \( \frac{0}{0} \), поэтому мы можем использовать правило Лопиталя или эквивалентные бесконечно малые функции. Способ 1: Использование эквивалентных бесконечно малых функций. Известно, что при \( z \to 0 \), \( \sin z \sim z \). Тогда \( \sin^2 z \sim z^2 \). Подставим это в выражение: \[ \lim_{z \to 0} \frac{z^2}{\sin^2 z} = \lim_{z \to 0} \frac{z^2}{z^2} = \lim_{z \to 0} 1 = 1 \] Способ 2: Использование первого замечательного предела. Мы знаем, что \( \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1 \). Тогда: \[ \lim_{z \to 0} \frac{z^2}{\sin^2 z} = \lim_{z \to 0} \left( \frac{z}{\sin z} \right)^2 \] Поскольку \( \lim_{z \to 0} \frac{z}{\sin z} = \frac{1}{\lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z}} = \frac{1}{1} = 1 \), то: \[ \lim_{z \to 0} \left( \frac{z}{\sin z} \right)^2 = (1)^2 = 1 \] Способ 3: Использование правила Лопиталя. Применим правило Лопиталя к функции \( \frac{z^2}{\sin^2 z} \). Для этого найдем производные числителя и знаменателя. Производная числителя \( (z^2)' = 2z \). Производная знаменателя \( (\sin^2 z)' = 2 \sin z \cdot (\sin z)' = 2 \sin z \cos z \). Тогда: \[ \lim_{z \to 0} \frac{z^2}{\sin^2 z} = \lim_{z \to 0} \frac{2z}{2 \sin z \cos z} = \lim_{z \to 0} \frac{z}{\sin z \cos z} \] Снова подставим \( z=0 \): \( \frac{0}{0 \cdot 1} = \frac{0}{0} \). Применим правило Лопиталя еще раз. Производная числителя \( (z)' = 1 \). Производная знаменателя \( (\sin z \cos z)' = (\sin z)' \cos z + \sin z (\cos z)' = \cos z \cos z + \sin z (-\sin z) = \cos^2 z - \sin^2 z \). Тогда: \[ \lim_{z \to 0} \frac{z}{\sin z \cos z} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{\cos^2 z - \sin^2 z} \] Подставим \( z=0 \): \[ \frac{1}{\cos^2 0 - \sin^2 0} = \frac{1}{1^2 - 0^2} = \frac{1}{1 - 0} = 1 \] Все три способа дают один и тот же результат. Ваш ответ: 1