Вычисление вычета функции f(z) = e^(z-2)/(z-2)^2 в точке z = 2

Вопрос: Вычислить вычет функции \(f(z) = \frac{e^{z-2}}{(z-2)^2}\) в точке \(z = 2\). Решение: Для вычисления вычета функции в изолированной особой точке \(z_0\), мы можем использовать формулу для полюса порядка \(m\). В данном случае, функция имеет вид \(f(z) = \frac{\phi(z)}{(z-z_0)^m}\), где \(\phi(z) = e^{z-2}\), \(z_0 = 2\), и \(m = 2\). Точка \(z_0 = 2\) является полюсом второго порядка, так как \(\phi(2) = e^{2-2} = e^0 = 1 \neq 0\). Формула для вычета в полюсе порядка \(m\) выглядит так: \[ \text{Res}_{z=z_0} f(z) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_0)^m f(z) \right] \] Подставим наши значения: \(z_0 = 2\) и \(m = 2\). \[ \text{Res}_{z=2} f(z) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 2} \frac{d^{2-1}}{dz^{2-1}} \left[ (z-2)^2 \frac{e^{z-2}}{(z-2)^2} \right] \] \[ \text{Res}_{z=2} f(z) = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ e^{z-2} \right] \] Теперь найдем производную от \(e^{z-2}\) по \(z\): \[ \frac{d}{dz} (e^{z-2}) = e^{z-2} \cdot \frac{d}{dz}(z-2) = e^{z-2} \cdot 1 = e^{z-2} \] Теперь подставим эту производную обратно в формулу для вычета: \[ \text{Res}_{z=2} f(z) = \lim_{z \to 2} \left[ e^{z-2} \right] \] Вычислим предел, подставив \(z = 2\): \[ \text{Res}_{z=2} f(z) = e^{2-2} = e^0 = 1 \] Таким образом, вычет функции в точке \(z = 2\) равен \(1\). Ваш ответ: 1