Вычисление вычета функции f(z) = z*e^(2/z) в точке z = 0

Вопрос: Вычислить вычет функции \(f(z) = z \cdot e^{\frac{2}{z}}\) в точке \(z = 0\). Решение: Для вычисления вычета функции в изолированной особой точке \(z_0\), мы можем использовать разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки. В данном случае, функция \(f(z) = z \cdot e^{\frac{2}{z}}\) имеет изолированную особую точку в \(z = 0\). Разложим функцию \(e^w\) в ряд Маклорена: \[e^w = 1 + w + \frac{w^2}{2!} + \frac{w^3}{3!} + \dots + \frac{w^n}{n!} + \dots\] Подставим \(w = \frac{2}{z}\) в этот ряд: \[e^{\frac{2}{z}} = 1 + \frac{2}{z} + \frac{(\frac{2}{z})^2}{2!} + \frac{(\frac{2}{z})^3}{3!} + \dots\] \[e^{\frac{2}{z}} = 1 + \frac{2}{z} + \frac{4}{2z^2} + \frac{8}{6z^3} + \dots\] \[e^{\frac{2}{z}} = 1 + \frac{2}{z} + \frac{2}{z^2} + \frac{4}{3z^3} + \dots\] Теперь умножим это разложение на \(z\): \[f(z) = z \cdot e^{\frac{2}{z}} = z \cdot \left(1 + \frac{2}{z} + \frac{2}{z^2} + \frac{4}{3z^3} + \dots\right)\] \[f(z) = z \cdot 1 + z \cdot \frac{2}{z} + z \cdot \frac{2}{z^2} + z \cdot \frac{4}{3z^3} + \dots\] \[f(z) = z + 2 + \frac{2}{z} + \frac{4}{3z^2} + \dots\] Вычет функции в точке \(z_0\) - это коэффициент при \(\frac{1}{z - z_0}\) в ряде Лорана. В нашем случае \(z_0 = 0\), поэтому мы ищем коэффициент при \(\frac{1}{z}\). Из полученного ряда Лорана: \[f(z) = z + 2 + \frac{2}{z} + \frac{4}{3z^2} + \dots\] Коэффициент при \(\frac{1}{z}\) равен \(2\). Следовательно, вычет функции \(f(z)\) в точке \(z = 0\) равен \(2\). Ваш ответ: 2