Вычисление Предела [e^z * sin(z) / z] при z=0

Вопрос: Вычислить \[ \left[ \frac{e^z \cdot \sin z}{z}; \quad z=0 \right] \] Решение: Нам нужно вычислить значение выражения при \(z=0\). Если мы просто подставим \(z=0\) в выражение, то получим неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), так как \(e^0 \cdot \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0\), а в знаменателе \(z=0\). Для раскрытия такой неопределенности можно использовать правило Лопиталя или разложение функций в ряд Тейлора. Способ 1: Использование правила Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что если предел отношения функций \(\frac{f(z)}{g(z)}\) при \(z \to a\) имеет вид \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\), то этот предел равен пределу отношения их производных: \[ \lim_{z \to a} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z \to a} \frac{f'(z)}{g'(z)} \] В нашем случае \(f(z) = e^z \cdot \sin z\) и \(g(z) = z\). Найдем производные: \[ f'(z) = \frac{d}{dz}(e^z \cdot \sin z) = \frac{d}{dz}(e^z) \cdot \sin z + e^z \cdot \frac{d}{dz}(\sin z) = e^z \cdot \sin z + e^z \cdot \cos z = e^z (\sin z + \cos z) \] \[ g'(z) = \frac{d}{dz}(z) = 1 \] Теперь применим правило Лопиталя: \[ \lim_{z \to 0} \frac{e^z \cdot \sin z}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{e^z (\sin z + \cos z)}{1} \] Подставим \(z=0\) в полученное выражение: \[ e^0 (\sin 0 + \cos 0) = 1 \cdot (0 + 1) = 1 \cdot 1 = 1 \] Способ 2: Использование эквивалентных бесконечно малых функций. Известно, что при \(z \to 0\), \(\sin z \sim z\). Тогда наше выражение можно переписать как: \[ \lim_{z \to 0} \frac{e^z \cdot \sin z}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{e^z \cdot z}{z} \] Сократим \(z\) в числителе и знаменателе (поскольку \(z \neq 0\) при вычислении предела): \[ \lim_{z \to 0} e^z \] Подставим \(z=0\): \[ e^0 = 1 \] Оба способа дают одинаковый результат. Ваш ответ: 1