Решение задачи: Допустимые значения переменной и сокращение дроби

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Часть I. За каждый правильный ответ – 1 балл 1. Найдите допустимые значения переменной в выражении \[ \frac{3x + 6}{8 - 2x} \] Решение: Допустимые значения переменной – это те значения, при которых выражение имеет смысл. В данном случае, это дробь, и знаменатель не может быть равен нулю. Знаменатель: \(8 - 2x\) Приравняем знаменатель к нулю и найдем значения \(x\), которые нужно исключить: \(8 - 2x = 0\) \(8 = 2x\) \(x = \frac{8}{2}\) \(x = 4\) Значит, \(x\) не может быть равен 4. Ответ: \(x \neq 4\) 2. Сократите дробь \[ \frac{8a^2 - 2}{8 - 16a} \] Решение: Сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \(8a^2 - 2 = 2(4a^2 - 1)\) Заметим, что \(4a^2 - 1\) – это разность квадратов: \((2a)^2 - 1^2 = (2a - 1)(2a + 1)\). Значит, числитель: \(2(2a - 1)(2a + 1)\). Знаменатель: \(8 - 16a = 8(1 - 2a)\) Теперь запишем дробь с разложенными множителями: \[ \frac{2(2a - 1)(2a + 1)}{8(1 - 2a)} \] Заметим, что \((1 - 2a) = -(2a - 1)\). Подставим это в знаменатель: \[ \frac{2(2a - 1)(2a + 1)}{8(-(2a - 1))} \] Сократим \((2a - 1)\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(2a - 1 \neq 0\), то есть \(a \neq \frac{1}{2}\)): \[ \frac{2(2a + 1)}{-8} \] Сократим 2 и -8: \[ \frac{2a + 1}{-4} \] Или можно записать так: \[ -\frac{2a + 1}{4} \] Ответ: \( -\frac{2a + 1}{4} \) 3. Найдите значение выражения: \[ 11x - \frac{6y + 11x^2}{x} \text{ при } x = 4; y = -18 \] Решение: Сначала упростим выражение: \[ 11x - \frac{6y + 11x^2}{x} = 11x - \left(\frac{6y}{x} + \frac{11x^2}{x}\right) \] \[ = 11x - \frac{6y}{x} - \frac{11x^2}{x} \] \[ = 11x - \frac{6y}{x} - 11x \] \[ = -\frac{6y}{x} \] Теперь подставим значения \(x = 4\) и \(y = -18\) в упрощенное выражение: \[ -\frac{6 \cdot (-18)}{4} \] \[ = -\frac{-108}{4} \] \[ = \frac{108}{4} \] \[ = 27 \] Ответ: 27 4. Вычислите: 1) \(4^{16} \cdot 4^{-14}\) Решение: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(4^{16} \cdot 4^{-14} = 4^{16 + (-14)} = 4^{16 - 14} = 4^2\) \(4^2 = 4 \cdot 4 = 16\) Ответ: 16 2) \(11^{-6} : 11^{-5}\) Решение: При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(11^{-6} : 11^{-5} = 11^{-6 - (-5)} = 11^{-6 + 5} = 11^{-1}\) \(11^{-1} = \frac{1}{11^1} = \frac{1}{11}\) Ответ: \( \frac{1}{11} \) 5. Принадлежит ли графику функции \( y = \frac{5}{x} \) точка \(A(-1; -5)\)? Решение: Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить координаты точки в уравнение функции. Если равенство будет верным, то точка принадлежит графику. Координаты точки \(A(-1; -5)\): \(x = -1\), \(y = -5\). Уравнение функции: \(y = \frac{5}{x}\) Подставим значения: \(-5 = \frac{5}{-1}\) \(-5 = -5\) Равенство верное. Ответ: Да, принадлежит. 6. Какие из данных утверждений верны? В ответе запишите их номера. 1) В равнобедренной трапеции диагонали равны. 2) Диагонали параллелограмма равны. 3) Средняя линия треугольника равна половине основания. Решение: 1) В равнобедренной трапеции диагонали действительно равны. Это свойство равнобедренной трапеции. 2) Диагонали параллелограмма в общем случае не равны. Они равны только в частных случаях параллелограмма: в прямоугольнике и квадрате. 3) Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон и равна половине этой стороны. Утверждение "равна половине основания" верно, если под основанием подразумевается та сторона, которой она параллельна. Ответ: 1, 3 7. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 37° и 52°. Найдите больший угол параллелограмма. Решение: Пусть диагональ BD образует с одной стороной угол 37° и с другой стороной угол 52°. Рассмотрим треугольник ABD. Углы при вершине B, образованные диагональю BD со сторонами AB и BC, равны 37° и 52°. Угол ABC (угол параллелограмма) равен сумме этих углов: \( \angle ABC = 37^\circ + 52^\circ = 89^\circ \) В параллелограмме сумма соседних углов равна 180°. Значит, \( \angle BAD + \angle ABC = 180^\circ \) \( \angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 89^\circ = 91^\circ \) Углы параллелограмма: \( \angle ABC = 89^\circ \), \( \angle BAD = 91^\circ \). Противоположные углы параллелограмма равны: \( \angle ADC = \angle ABC = 89^\circ \) \( \angle BCD = \angle BAD = 91^\circ \) Больший угол параллелограмма – это 91°. Ответ: 91° 8. В трапеции MNKP (MP || NK) TF – средняя линия трапеции, NK = 8 см, MP = 10 см. Найдите TF? Решение: Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Основания трапеции: NK = 8 см и MP = 10 см. Формула для средней линии TF: \[ TF = \frac{NK + MP}{2} \] Подставим значения: \[ TF = \frac{8 + 10}{2} \] \[ TF = \frac{18}{2} \] \[ TF = 9 \] Ответ: 9 см 9. Выполните умножение \[ \frac{6x^3}{x - 5} \cdot \frac{25 - x^2}{18x^2} \] Решение: Сначала разложим на множители числитель второй дроби: \(25 - x^2 = 5^2 - x^2 = (5 - x)(5 + x)\) Заметим, что \((5 - x) = -(x - 5)\). Теперь перепишем выражение: \[ \frac{6x^3}{x - 5} \cdot \frac{-(x - 5)(x + 5)}{18x^2} \] Умножим числители и знаменатели: \[ \frac{6x^3 \cdot (-(x - 5)(x + 5))}{(x - 5) \cdot 18x^2} \] Сократим \((x - 5)\) (при условии, что \(x - 5 \neq 0\), то есть \(x \neq 5\)): \[ \frac{6x^3 \cdot (-(x + 5))}{18x^2} \] Сократим \(x^2\) в числителе и знаменателе: \(x^3 / x^2 = x\). \[ \frac{6x \cdot (-(x + 5))}{18} \] Сократим 6 и 18: \(6/18 = 1/3\). \[ \frac{x \cdot (-(x + 5))}{3} \] \[ -\frac{x(x + 5)}{3} \] Ответ: \( -\frac{x(x + 5)}{3} \)