Вычисление интеграла с помощью вычетов

Вопрос: Вычислить с помощью вычетов \[ \frac{1}{\pi i} \oint_{|z|=1} \frac{z^2+1}{z^3} dz \] Решение: Обозначим подынтегральную функцию как \( f(z) = \frac{z^2+1}{z^3} \). Контур интегрирования - окружность \( |z|=1 \) с центром в начале координат и радиусом 1. Особые точки функции \( f(z) \) - это нули знаменателя. Знаменатель равен нулю при \( z^3 = 0 \), то есть \( z=0 \). Точка \( z=0 \) является полюсом третьего порядка. Эта особая точка \( z=0 \) находится внутри контура интегрирования \( |z|=1 \). Для вычисления интеграла по теореме о вычетах нам нужно найти вычет функции \( f(z) \) в точке \( z=0 \). Формула для вычета в полюсе порядка \( m \) в точке \( z_0 \) выглядит так: \[ \text{Res}_{z=z_0} f(z) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] \] В нашем случае \( z_0 = 0 \) и \( m = 3 \). \[ \text{Res}_{z=0} f(z) = \frac{1}{(3-1)!} \lim_{z \to 0} \frac{d^{3-1}}{dz^{3-1}} [(z-0)^3 \frac{z^2+1}{z^3}] \] \[ \text{Res}_{z=0} f(z) = \frac{1}{2!} \lim_{z \to 0} \frac{d^2}{dz^2} [z^3 \frac{z^2+1}{z^3}] \] \[ \text{Res}_{z=0} f(z) = \frac{1}{2} \lim_{z \to 0} \frac{d^2}{dz^2} [z^2+1] \] Теперь вычислим вторую производную от \( z^2+1 \): Первая производная: \( \frac{d}{dz} (z^2+1) = 2z \) Вторая производная: \( \frac{d}{dz} (2z) = 2 \) Подставим это обратно в формулу для вычета: \[ \text{Res}_{z=0} f(z) = \frac{1}{2} \lim_{z \to 0} [2] \] \[ \text{Res}_{z=0} f(z) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \] По теореме о вычетах, интеграл по замкнутому контуру равен \( 2\pi i \) умноженному на сумму вычетов функции внутри контура: \[ \oint_{|z|=1} f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res} f(z) \] В нашем случае, внутри контура только одна особая точка \( z=0 \), поэтому: \[ \oint_{|z|=1} \frac{z^2+1}{z^3} dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{z=0} f(z) \] \[ \oint_{|z|=1} \frac{z^2+1}{z^3} dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i \] Теперь подставим это значение в исходное выражение: \[ \frac{1}{\pi i} \oint_{|z|=1} \frac{z^2+1}{z^3} dz = \frac{1}{\pi i} \cdot (2\pi i) \] \[ = \frac{2\pi i}{\pi i} \] \[ = 2 \] Ваш ответ: 2