Решение интеграла с помощью вычетов: ∫ (100z + 5)/(1 + z^2012) dz

Вот решение задачи с подробным объяснением, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Вопрос: Вычислить с помощью вычетов интеграл \[ \oint_{|z|=2} \frac{100z + 5}{1 + z^{2012}} dz \] Решение: 1. Обозначим подынтегральную функцию как \(f(z)\): \[ f(z) = \frac{100z + 5}{1 + z^{2012}} \] 2. Найдем особые точки функции \(f(z)\). Особые точки - это корни знаменателя: \[ 1 + z^{2012} = 0 \] \[ z^{2012} = -1 \] 3. Представим \(-1\) в показательной форме: \[ -1 = e^{i(\pi + 2\pi k)}, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} \] 4. Тогда корни \(z_k\) будут: \[ z_k = (e^{i(\pi + 2\pi k)})^{1/2012} = e^{i \frac{\pi + 2\pi k}{2012}}, \quad \text{где } k = 0, 1, \dots, 2011 \] 5. Определим, какие из этих особых точек находятся внутри контура интегрирования \(|z|=2\). Модуль каждой из этих точек равен: \[ |z_k| = \left| e^{i \frac{\pi + 2\pi k}{2012}} \right| = 1 \] Все особые точки \(z_k\) лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. 6. Контур интегрирования - это окружность \(|z|=2\). Поскольку \(|z_k|=1 < 2\), все \(2012\) особых точек \(z_k\) находятся внутри контура интегрирования \(|z|=2\). 7. По теореме о вычетах, интеграл равен \(2\pi i\) умножить на сумму вычетов функции \(f(z)\) во всех особых точках, лежащих внутри контура: \[ \oint_{|z|=2} f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=0}^{2011} \text{Res}(f(z), z_k) \] 8. Все корни \(z_k\) являются простыми полюсами, так как \(1 + z^{2012}\) имеет простые корни (производная знаменателя в этих точках не равна нулю). Для простого полюса \(z_0\), вычет вычисляется по формуле: \[ \text{Res}(f(z), z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z) \] Если \(f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}\), где \(P(z_0) \neq 0\) и \(Q(z_0) = 0\), \(Q'(z_0) \neq 0\), то: \[ \text{Res}(f(z), z_0) = \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} \] В нашем случае \(P(z) = 100z + 5\) и \(Q(z) = 1 + z^{2012}\). Найдем производную знаменателя: \[ Q'(z) = \frac{d}{dz}(1 + z^{2012}) = 2012 z^{2011} \] 9. Тогда вычет в каждой точке \(z_k\) равен: \[ \text{Res}(f(z), z_k) = \frac{100z_k + 5}{2012 z_k^{2011}} \] 10. Сумма вычетов: \[ \sum_{k=0}^{2011} \text{Res}(f(z), z_k) = \sum_{k=0}^{2011} \frac{100z_k + 5}{2012 z_k^{2011}} \] Мы знаем, что \(z_k^{2012} = -1\). Отсюда \(z_k^{2011} = \frac{-1}{z_k}\). Подставим это в выражение для вычета: \[ \text{Res}(f(z), z_k) = \frac{100z_k + 5}{2012 \left(\frac{-1}{z_k}\right)} = \frac{z_k(100z_k + 5)}{-2012} = -\frac{100z_k^2 + 5z_k}{2012} \] 11. Теперь просуммируем вычеты: \[ \sum_{k=0}^{2011} \text{Res}(f(z), z_k) = \sum_{k=0}^{2011} \left( -\frac{100z_k^2 + 5z_k}{2012} \right) = -\frac{1}{2012} \left( 100 \sum_{k=0}^{2011} z_k^2 + 5 \sum_{k=0}^{2011} z_k \right) \] 12. Рассмотрим сумму корней \(z_k\). Это корни уравнения \(z^{2012} + 1 = 0\). По теореме Виета, сумма всех корней многочлена \(a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0 = 0\) равна \(-a_{n-1}/a_n\). В нашем случае \(n=2012\), \(a_n = 1\), \(a_{n-1} = 0\) (коэффициент при \(z^{2011}\) равен нулю). Следовательно, сумма всех корней: \[ \sum_{k=0}^{2011} z_k = 0 \] 13. Теперь рассмотрим сумму квадратов корней \(z_k^2\). Мы знаем, что \(z_k^{2012} = -1\). Если \(z_k\) - корень \(z^{2012} = -1\), то \(z_k^2\) - это корни уравнения \((w^{1/2})^{2012} = -1\), то есть \(w^{1006} = -1\). Или, более просто, если \(z_k\) - корни \(z^{2012} + 1 = 0\), то \(z_k^2\) - это корни \(w^{1006} + 1 = 0\). Сумма корней \(w_j\) уравнения \(w^{1006} + 1 = 0\) также равна нулю, так как коэффициент при \(w^{1005}\) равен нулю. Таким образом, \[ \sum_{k=0}^{2011} z_k^2 = 0 \] 14. Подставим эти суммы обратно в выражение для суммы вычетов: \[ \sum_{k=0}^{2011} \text{Res}(f(z), z_k) = -\frac{1}{2012} \left( 100 \cdot 0 + 5 \cdot 0 \right) = 0 \] 15. Окончательно, значение интеграла: \[ \oint_{|z|=2} f(z) dz = 2\pi i \cdot 0 = 0 \] Ваш ответ: 0