Решение интеграла методом вычетов: пример

Решим задачу по вычислению интеграла с помощью вычетов. Задача: Вычислить с помощью вычетов \[ \frac{3}{\pi i} \oint_{|z|=3} \frac{z^9}{z^{10}-1} dz \] Решение: Шаг 1: Определим подынтегральную функцию и контур интегрирования. Подынтегральная функция: \( f(z) = \frac{z^9}{z^{10}-1} \) Контур интегрирования: окружность \( |z|=3 \). Шаг 2: Найдем особые точки функции \( f(z) \). Особые точки - это корни знаменателя: \( z^{10}-1 = 0 \). Это означает \( z^{10} = 1 \). Корни этого уравнения находятся по формуле: \[ z_k = e^{i \frac{2\pi k}{10}} = e^{i \frac{\pi k}{5}} \] где \( k = 0, 1, 2, \dots, 9 \). Выпишем эти корни: \( z_0 = e^{i \cdot 0} = 1 \) \( z_1 = e^{i \frac{\pi}{5}} \) \( z_2 = e^{i \frac{2\pi}{5}} \) \( z_3 = e^{i \frac{3\pi}{5}} \) \( z_4 = e^{i \frac{4\pi}{5}} \) \( z_5 = e^{i \frac{5\pi}{5}} = e^{i\pi} = -1 \) \( z_6 = e^{i \frac{6\pi}{5}} \) \( z_7 = e^{i \frac{7\pi}{5}} \) \( z_8 = e^{i \frac{8\pi}{5}} \) \( z_9 = e^{i \frac{9\pi}{5}} \) Шаг 3: Определим, какие из особых точек лежат внутри контура \( |z|=3 \). Модуль каждой из этих точек равен \( |z_k| = |e^{i \frac{\pi k}{5}}| = 1 \). Так как \( 1 < 3 \), все 10 особых точек \( z_0, z_1, \dots, z_9 \) лежат внутри контура \( |z|=3 \). Шаг 4: Определим тип особых точек. Знаменатель \( g(z) = z^{10}-1 \). Производная знаменателя: \( g'(z) = 10z^9 \). Для каждой особой точки \( z_k \), \( g(z_k) = z_k^{10}-1 = 1-1 = 0 \). А \( g'(z_k) = 10z_k^9 \). Так как \( z_k^{10}=1 \), то \( z_k \neq 0 \), следовательно \( g'(z_k) = 10z_k^9 \neq 0 \). Это означает, что все особые точки являются простыми полюсами. Шаг 5: Вычислим вычеты в каждом простом полюсе. Для простого полюса \( z_k \), вычет вычисляется по формуле: \[ \text{Res}_{z=z_k} f(z) = \lim_{z \to z_k} (z-z_k) \frac{z^9}{z^{10}-1} \] Используем правило Лопиталя или формулу для вычета в простом полюсе: \[ \text{Res}_{z=z_k} \frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{P(z_k)}{Q'(z_k)} \] В нашем случае \( P(z) = z^9 \) и \( Q(z) = z^{10}-1 \). Тогда \( P(z_k) = z_k^9 \) и \( Q'(z_k) = 10z_k^9 \). \[ \text{Res}_{z=z_k} f(z) = \frac{z_k^9}{10z_k^9} = \frac{1}{10} \] Это верно для всех \( k = 0, 1, \dots, 9 \). Шаг 6: Применим основную теорему о вычетах. Интеграл по замкнутому контуру равен \( 2\pi i \) умножить на сумму вычетов всех особых точек, лежащих внутри контура. \[ \oint_{|z|=3} \frac{z^9}{z^{10}-1} dz = 2\pi i \sum_{k=0}^9 \text{Res}_{z=z_k} f(z) \] Сумма вычетов: \[ \sum_{k=0}^9 \text{Res}_{z=z_k} f(z) = \sum_{k=0}^9 \frac{1}{10} \] Так как у нас 10 таких вычетов, сумма равна: \[ 10 \cdot \frac{1}{10} = 1 \] Значит, интеграл равен: \[ \oint_{|z|=3} \frac{z^9}{z^{10}-1} dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i \] Шаг 7: Подставим полученное значение интеграла в исходное выражение. Исходное выражение: \[ \frac{3}{\pi i} \oint_{|z|=3} \frac{z^9}{z^{10}-1} dz \] Подставляем значение интеграла: \[ \frac{3}{\pi i} \cdot (2\pi i) \] Сокращаем \( \pi i \): \[ 3 \cdot 2 = 6 \] Окончательный ответ: 6