Задача № 54. В каждом из \(n\) независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью \(p\). Найти вероятность того, что событие А происходит:
Дано:
\(V = 11\)
\(n = 700 + V \cdot 10 = 700 + 11 \cdot 10 = 700 + 110 = 810\)
\(p = 0,35 + \frac{V}{50} = 0,35 + \frac{11}{50} = 0,35 + 0,22 = 0,57\)
\(M = 270 + V \cdot 10 = 270 + 11 \cdot 10 = 270 + 110 = 380\)
\(L = M - 40 - V = 380 - 40 - 11 = 329\)
Найти вероятность того, что событие А происходит:
а) точно \(M\) раз;
б) меньше чем \(M\) и больше чем \(L\) раз;
в) больше чем \(M\) раз.
Решение:
Это задача на применение формулы Бернулли и приближения Пуассона или локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа. Поскольку \(n\) большое, а \(p\) не очень близко к 0 или 1, будем использовать приближение Муавра-Лапласа.
Сначала найдем математическое ожидание числа наступлений события \(A\) и стандартное отклонение:
Математическое ожидание: \(\lambda = n \cdot p = 810 \cdot 0,57 = 461,7\)
Дисперсия: \(D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 810 \cdot 0,57 \cdot (1 - 0,57) = 810 \cdot 0,57 \cdot 0,43 = 198,999\)
Стандартное отклонение: \(\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{198,999} \approx 14,1067\)
а) Найти вероятность того, что событие А происходит точно \(M\) раз.
То есть, найти \(P_n(M)\), где \(n = 810\), \(M = 380\).
Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:
\(P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}} \cdot \phi\left(\frac{k - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}}\right)\)
где \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\) - функция Гаусса.
Вычислим значение \(x\) для \(k = M = 380\):
\(x = \frac{M - n \cdot p}{\sigma} = \frac{380 - 461,7}{14,1067} = \frac{-81,7}{14,1067} \approx -5,791\)
Значение \(\phi(x)\) для \(x = -5,791\) очень мало, так как функция Гаусса быстро убывает от нуля. Для таких больших по модулю значений \(x\), \(\phi(x)\) практически равно нулю. Это означает, что вероятность того, что событие произойдет ровно 380 раз, очень мала, так как 380 сильно отклоняется от математического ожидания 461,7.
По таблице значений функции \(\phi(x)\) или с помощью калькулятора, \(\phi(-5,791) \approx 0\).
Следовательно, \(P_{810}(380) \approx \frac{1}{14,1067} \cdot 0 = 0\).
Ответ а): Вероятность того, что событие А произойдет точно \(M\) раз (380 раз), очень мала, практически равна 0.
б) Найти вероятность того, что событие А происходит меньше чем \(M\) и больше чем \(L\) раз.
То есть, найти \(P_n(L < k < M)\), где \(n = 810\), \(L = 329\), \(M = 380\).
Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:
\(P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi\left(\frac{k_2 - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}}\right) - \Phi\left(\frac{k_1 - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}}\right)\)
где \(\Phi(x)\) - функция Лапласа (интеграл вероятностей).
Для строгого неравенства \(L < k < M\), мы можем использовать \(k_1 = L+1\) и \(k_2 = M-1\), или, что чаще используется для непрерывного приближения, \(k_1 = L + 0,5\) и \(k_2 = M - 0,5\).
Вычислим значения \(x_1\) и \(x_2\):
\(x_1 = \frac{L - n \cdot p}{\sigma} = \frac{329 - 461,7}{14,1067} = \frac{-132,7}{14,1067} \approx -9,407\)
\(x_2 = \frac{M - n \cdot p}{\sigma} = \frac{380 - 461,7}{14,1067} = \frac{-81,7}{14,1067} \approx -5,791\)
Для более точного приближения с учетом поправок на непрерывность:
\(P_n(L < k < M) \approx \Phi\left(\frac{M - 0,5 - n \cdot p}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{L + 0,5 - n \cdot p}{\sigma}\right)\)
Вычислим новые значения \(x\):
\(x_{L+0.5} = \frac{329 + 0,5 - 461,7}{14,1067} = \frac{329,5 - 461,7}{14,1067} = \frac{-132,2}{14,1067} \approx -9,371\)
\(x_{M-0.5} = \frac{380 - 0,5 - 461,7}{14,1067} = \frac{379,5 - 461,7}{14,1067} = \frac{-82,2}{14,1067} \approx -5,827\)
Поскольку значения \(x\) очень большие по модулю (больше 5), значения функции Лапласа \(\Phi(x)\) для них будут очень близки к 0 для отрицательных \(x\).
\(\Phi(-9,371) \approx 0\)
\(\Phi(-5,827) \approx 0\)
Следовательно, \(P_n(L < k < M) \approx 0 - 0 = 0\).
Ответ б): Вероятность того, что событие А произойдет меньше чем \(M\) (380) и больше чем \(L\) (329) раз, очень мала, практически равна 0.
в) Найти вероятность того, что событие А происходит больше чем \(M\) раз.
То есть, найти \(P_n(k > M)\), где \(n = 810\), \(M = 380\).
Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:
\(P_n(k > M) = 1 - P_n(k \le M)\)
или, с учетом поправки на непрерывность:
\(P_n(k > M) \approx 1 - \Phi\left(\frac{M + 0,5 - n \cdot p}{\sigma}\right)\)
Вычислим значение \(x\) для \(M + 0,5\):
\(x_{M+0.5} = \frac{380 + 0,5 - 461,7}{14,1067} = \frac{380,5 - 461,7}{14,1067} = \frac{-81,2}{14,1067} \approx -5,756\)
Поскольку \(x = -5,756\) очень большое по модулю отрицательное число, \(\Phi(-5,756)\) будет очень близко к 0.
\(\Phi(-5,756) \approx 0\)
Следовательно, \(P_n(k > M) \approx 1 - 0 = 1\).
Однако, это результат, который требует внимательного анализа. Если \(M\) находится далеко от математического ожидания в сторону уменьшения, то вероятность того, что \(k\) будет больше \(M\), действительно будет близка к 1. В нашем случае \(M = 380\), а математическое ожидание \(n \cdot p = 461,7\). То есть, 380 значительно меньше среднего значения. Поэтому вероятность того, что число событий будет больше 380, действительно должна быть очень высокой.
Ответ в): Вероятность того, что событие А произойдет больше чем \(M\) раз (380 раз), очень высока, практически равна 1.
Общий вывод:
Все три пункта показывают, что 380 и 329 - это значения, которые очень сильно отклоняются от математического ожидания 461,7. Вероятность того, что число наступлений события будет точно 380, или в узком диапазоне между 329 и 380, крайне мала. А вероятность того, что число наступлений будет больше 380, очень высока, так как 380 находится значительно ниже среднего значения.