Решение интеграла: 2√(3)/π ∫ dx/(2+cos x)

Вопрос: Вычислить \[ \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} \] Решение: Для вычисления данного интеграла воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой: Пусть \( t = \tan \left( \frac{x}{2} \right) \). Тогда: \( dx = \frac{2 dt}{1 + t^2} \) \( \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \) Изменим пределы интегрирования: При \( x = 0 \), \( t = \tan \left( \frac{0}{2} \right) = \tan(0) = 0 \). При \( x = 2\pi \), \( t = \tan \left( \frac{2\pi}{2} \right) = \tan(\pi) = 0 \). Заметим, что пределы интегрирования совпадают. Это означает, что интеграл по данному промежутку равен нулю, если подынтегральная функция не имеет особенностей на этом промежутке. Однако, это не всегда так для тригонометрических функций, когда используется подстановка \( t = \tan(x/2) \) на интервале, включающем \( \pi \). Интеграл вида \( \int_{0}^{2\pi} R(\cos x, \sin x) dx \) можно вычислить, используя свойство симметрии. Если \( f(x) = f(2\pi - x) \), то \( \int_{0}^{2\pi} f(x) dx = 2 \int_{0}^{\pi} f(x) dx \). В нашем случае \( f(x) = \frac{1}{2 + \cos x} \). \( f(2\pi - x) = \frac{1}{2 + \cos(2\pi - x)} = \frac{1}{2 + \cos x} = f(x) \). Значит, \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} = 2 \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} \] Теперь применим подстановку \( t = \tan \left( \frac{x}{2} \right) \) для интеграла от \( 0 \) до \( \pi \). Пределы интегрирования: При \( x = 0 \), \( t = \tan(0) = 0 \). При \( x = \pi \), \( t = \tan \left( \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow \infty \). Подставляем в интеграл: \[ \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} = \int_{0}^{\infty} \frac{\frac{2 dt}{1 + t^2}}{2 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \] \[ = \int_{0}^{\infty} \frac{2 dt}{2(1 + t^2) + (1 - t^2)} \] \[ = \int_{0}^{\infty} \frac{2 dt}{2 + 2t^2 + 1 - t^2} \] \[ = \int_{0}^{\infty} \frac{2 dt}{3 + t^2} \] \[ = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{3})^2} \] Это табличный интеграл вида \( \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C \). В нашем случае \( a = \sqrt{3} \). \[ 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) \right]_{0}^{\infty} \] \[ = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \lim_{t \to \infty} \arctan \left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) - \arctan \left( \frac{0}{\sqrt{3}} \right) \right) \] \[ = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) \] \[ = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{2} \] \[ = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \] Теперь вернемся к исходному интегралу: \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} = 2 \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} = 2 \cdot \frac{\pi}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \] Окончательно, нужно вычислить выражение: \[ \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \cdot \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} \] Подставляем найденное значение интеграла: \[ \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \] Сокращаем \( \sqrt{3} \) и \( \pi \): \[ 2 \cdot 2 = 4 \] Ваш ответ: 4