Решение Интеграла ∫(x²+1)/(x⁴+1) dx

Вот решение задачи: Вычислить: \[ \frac{3\sqrt{2}}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{(x^2 + 1)dx}{x^4 + 1} \] Решение: Сначала вычислим определённый интеграл: \[ I = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} dx \] Для вычисления этого интеграла разделим числитель и знаменатель на \(x^2\): \[ I = \int_{0}^{\infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx \] Теперь сделаем замену переменной. Пусть \(t = x - \frac{1}{x}\). Тогда \(dt = \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx\). Также \(t^2 = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\), откуда \(x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2\). Определим пределы интегрирования для \(t\): Когда \(x \to 0^+\), \(t = x - \frac{1}{x} \to 0 - \infty = -\infty\). Когда \(x \to \infty\), \(t = x - \frac{1}{x} \to \infty - 0 = \infty\). Таким образом, интеграл преобразуется в: \[ I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + 2} \] Этот интеграл является табличным. Мы знаем, что \(\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C\). В нашем случае \(a^2 = 2\), значит \(a = \sqrt{2}\). \[ I = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \right]_{-\infty}^{\infty} \] Подставим пределы интегрирования: \[ I = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \lim_{t \to \infty} \arctan\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) - \lim_{t \to -\infty} \arctan\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \right) \] Мы знаем, что \(\lim_{y \to \infty} \arctan(y) = \frac{\pi}{2}\) и \(\lim_{y \to -\infty} \arctan(y) = -\frac{\pi}{2}\). \[ I = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) \] \[ I = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) \] \[ I = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \pi \] \[ I = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \] Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение: \[ \frac{3\sqrt{2}}{\pi} \cdot I = \frac{3\sqrt{2}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{\sqrt{2}} \] Сократим \(\sqrt{2}\) и \(\pi\): \[ \frac{3\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\pi}} \cdot \frac{\cancel{\pi}}{\cancel{\sqrt{2}}} = 3 \] Окончательный ответ: 3