Решение Интеграла с Cos(x) методом Вычетов

Решим данную задачу. Нам нужно вычислить значение выражения: \[ \frac{12e^3}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x \, dx}{x^2 + 9} \] Сначала вычислим определённый интеграл. Рассмотрим интеграл вида: \[ I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{x^2 + b^2} \, dx \] где в нашем случае \(a = 1\) и \(b = 3\). Этот интеграл можно вычислить с помощью вычетов. Рассмотрим функцию \(f(z) = \frac{e^{iaz}}{z^2 + b^2}\). Полюсы этой функции находятся в точках, где знаменатель равен нулю: \(z^2 + b^2 = 0\) \(z^2 = -b^2\) \(z = \pm ib\) Для \(a > 0\), мы замыкаем контур в верхней полуплоскости, где находится полюс \(z = ib\). Вычет в точке \(z = ib\) равен: \[ \text{Res}(f, ib) = \lim_{z \to ib} (z - ib) \frac{e^{iaz}}{(z - ib)(z + ib)} = \frac{e^{ia(ib)}}{ib + ib} = \frac{e^{-ab}}{2ib} \] По теореме о вычетах, интеграл по замкнутому контуру равен \(2\pi i\) умножить на сумму вычетов внутри контура. \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iax}}{x^2 + b^2} \, dx = 2\pi i \cdot \frac{e^{-ab}}{2ib} = \frac{\pi e^{-ab}}{b} \] Теперь, используя формулу Эйлера \(e^{iax} = \cos(ax) + i \sin(ax)\), мы можем записать: \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(ax) + i \sin(ax)}{x^2 + b^2} \, dx = \frac{\pi e^{-ab}}{b} \] Разделяя на действительную и мнимую части: \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{x^2 + b^2} \, dx + i \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(ax)}{x^2 + b^2} \, dx = \frac{\pi e^{-ab}}{b} \] Поскольку функция \(\frac{\sin(ax)}{x^2 + b^2}\) является нечетной, а интервал интегрирования симметричен относительно нуля, то \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(ax)}{x^2 + b^2} \, dx = 0\). Следовательно, \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{x^2 + b^2} \, dx = \frac{\pi e^{-ab}}{b} \] В нашем случае \(a = 1\) и \(b = 3\). Подставляем эти значения: \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 9} \, dx = \frac{\pi e^{-1 \cdot 3}}{3} = \frac{\pi e^{-3}}{3} \] Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение: \[ \frac{12e^3}{\pi} \cdot \left( \frac{\pi e^{-3}}{3} \right) \] Упрощаем выражение: \[ \frac{12e^3}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3e^3} \] Сокращаем \(\pi\) и \(e^3\): \[ \frac{12}{3} = 4 \] Таким образом, значение выражения равно 4. Ваш ответ: 4