Решение задачи: Матричное уравнение 2A-X=B из Билета №3

Вот решения задач из "Билета №3", оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Билет №3 1. Найти матрицу \(X\), если \(2A - X = B\), где \[A = \begin{pmatrix} 3 & -7 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 9 & -5 \\ 3 & 7 & -1 \end{pmatrix}.\] Решение: Из уравнения \(2A - X = B\) выразим матрицу \(X\): \(X = 2A - B\). Сначала найдем \(2A\): \[2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & -7 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot (-7) & 2 \cdot 5 \\ 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -14 & 10 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.\] Теперь найдем \(X = 2A - B\): \[X = \begin{pmatrix} 6 & -14 & 10 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 9 & -5 \\ 3 & 7 & -1 \end{pmatrix}.\] Вычитаем соответствующие элементы матриц: \[X = \begin{pmatrix} 6 - (-2) & -14 - 9 & 10 - (-5) \\ 2 - 3 & 0 - 7 & 4 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 2 & -14 - 9 & 10 + 5 \\ 2 - 3 & 0 - 7 & 4 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -23 & 15 \\ -1 & -7 & 5 \end{pmatrix}.\] Ответ: \[X = \begin{pmatrix} 8 & -23 & 15 \\ -1 & -7 & 5 \end{pmatrix}.\] 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки \(A(1, -5, 3)\), \(B(0, -2, 4)\) и \(C(1, -1, 0)\). Решение: Уравнение плоскости, проходящей через три точки \(A(x_A, y_A, z_A)\), \(B(x_B, y_B, z_B)\) и \(C(x_C, y_C, z_C)\), можно найти, используя определитель: \[\begin{vmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A \end{vmatrix} = 0.\] Подставим координаты точек \(A(1, -5, 3)\), \(B(0, -2, 4)\) и \(C(1, -1, 0)\): \(x_A = 1, y_A = -5, z_A = 3\) \(x_B = 0, y_B = -2, z_B = 4\) \(x_C = 1, y_C = -1, z_C = 0\) Вычислим разности координат: \(x_B - x_A = 0 - 1 = -1\) \(y_B - y_A = -2 - (-5) = -2 + 5 = 3\) \(z_B - z_A = 4 - 3 = 1\) \(x_C - x_A = 1 - 1 = 0\) \(y_C - y_A = -1 - (-5) = -1 + 5 = 4\) \(z_C - z_A = 0 - 3 = -3\) Теперь подставим эти значения в определитель: \[\begin{vmatrix} x - 1 & y - (-5) & z - 3 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0\] \[\begin{vmatrix} x - 1 & y + 5 & z - 3 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0.\] Раскроем определитель по первой строке: \((x - 1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} - (y + 5) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} + (z - 3) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 0.\) Вычислим определители 2x2: \(\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-3) - 1 \cdot 4 = -9 - 4 = -13.\) \(\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-3) - 1 \cdot 0 = 3 - 0 = 3.\) \(\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 4 - 3 \cdot 0 = -4 - 0 = -4.\) Подставим эти значения обратно в уравнение: \((x - 1) \cdot (-13) - (y + 5) \cdot 3 + (z - 3) \cdot (-4) = 0.\) Раскроем скобки: \(-13x + 13 - 3y - 15 - 4z + 12 = 0.\) Приведем подобные члены: \(-13x - 3y - 4z + (13 - 15 + 12) = 0.\) \(-13x - 3y - 4z + 10 = 0.\) Для удобства можно умножить уравнение на \(-1\): \(13x + 3y + 4z - 10 = 0.\) Ответ: Уравнение плоскости: \(13x + 3y + 4z - 10 = 0.\) 3. Найти предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 4x}{x^2}\). Решение: Это предел вида \(\frac{0}{0}\), поэтому можно использовать первый замечательный предел \(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\). Преобразуем выражение: \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin 4x)^2}{x^2}.\] Чтобы применить замечательный предел, нам нужно иметь \(4x\) в знаменателе под \(\sin 4x\). Умножим и разделим на \(4^2 = 16\): \[\lim_{x \to 0} \frac{(\sin 4x)^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin 4x)^2}{(4x)^2} \cdot \frac{(4x)^2}{x^2}.\] \[= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \right)^2 \cdot \frac{16x^2}{x^2}.\] Сократим \(x^2\): \[= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \right)^2 \cdot 16.\] Поскольку \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1\), то: \[= (1)^2 \cdot 16 = 1 \cdot 16 = 16.\] Ответ: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 4x}{x^2} = 16.\) 4. Найти производную функции \(y = 2^{-\text{arctg}x}\). Решение: Для нахождения производной используем правило производной сложной функции и формулу производной показательной функции \( (a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u' \). В нашем случае \(a = 2\) и \(u = -\text{arctg}x\). Сначала найдем производную \(u'\): \(u' = (-\text{arctg}x)' = -(\text{arctg}x)'\). Известно, что \((\text{arctg}x)' = \frac{1}{1 + x^2}\). Значит, \(u' = -\frac{1}{1 + x^2}\). Теперь подставим это в формулу для производной \(y'\): \(y' = (2^{-\text{arctg}x})' = 2^{-\text{arctg}x} \cdot \ln 2 \cdot (-\text{arctg}x)'\). \(y' = 2^{-\text{arctg}x} \cdot \ln 2 \cdot \left(-\frac{1}{1 + x^2}\right)\). \(y' = -\frac{2^{-\text{arctg}x} \cdot \ln 2}{1 + x^2}\). Ответ: \(y' = -\frac{2^{-\text{arctg}x} \cdot \ln 2}{1 + x^2}\).