Решение задач на упрощение выражений: А-8 ДЗ-15.12

Вот решения задач по упрощению выражений. А-8 ДЗ-15.12... Упростите выражение: 1. Найдите значение выражения \[ \frac{4(a^2b)^2}{a^4b^3} \] Решение: \[ \frac{4(a^2b)^2}{a^4b^3} = \frac{4 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2}{a^4b^3} = \frac{4a^4b^2}{a^4b^3} \] Сокращаем \(a^4\) в числителе и знаменателе. \[ \frac{4a^4b^2}{a^4b^3} = \frac{4b^2}{b^3} \] Сокращаем \(b^2\) в числителе и знаменателе. \[ \frac{4b^2}{b^3} = \frac{4}{b} \] Ответ: \( \frac{4}{b} \) 2. Найдите значение выражения \[ \frac{7(3a^4)^2}{a^6a^4} \] Решение: \[ \frac{7(3a^4)^2}{a^6a^4} = \frac{7 \cdot 3^2 \cdot (a^4)^2}{a^{6+4}} = \frac{7 \cdot 9 \cdot a^8}{a^{10}} = \frac{63a^8}{a^{10}} \] Сокращаем \(a^8\) в числителе и знаменателе. \[ \frac{63a^8}{a^{10}} = \frac{63}{a^{10-8}} = \frac{63}{a^2} \] Ответ: \( \frac{63}{a^2} \) 3. Найдите значение выражения \[ \left(\frac{1}{4a} - \frac{1}{5b}\right) : \left(\frac{b}{4} - \frac{a}{5}\right) \] Решение: Сначала приведем к общему знаменателю выражения в скобках. \[ \left(\frac{1}{4a} - \frac{1}{5b}\right) = \frac{5b - 4a}{20ab} \] \[ \left(\frac{b}{4} - \frac{a}{5}\right) = \frac{5b - 4a}{20} \] Теперь выполним деление: \[ \frac{5b - 4a}{20ab} : \frac{5b - 4a}{20} = \frac{5b - 4a}{20ab} \cdot \frac{20}{5b - 4a} \] Сокращаем \( (5b - 4a) \) и \( 20 \). \[ \frac{1}{ab} \] Ответ: \( \frac{1}{ab} \) 4. Найдите значение выражения \[ \frac{2(3a^2)^3}{a^6a^2} \] Решение: \[ \frac{2(3a^2)^3}{a^6a^2} = \frac{2 \cdot 3^3 \cdot (a^2)^3}{a^{6+2}} = \frac{2 \cdot 27 \cdot a^6}{a^8} = \frac{54a^6}{a^8} \] Сокращаем \(a^6\) в числителе и знаменателе. \[ \frac{54a^6}{a^8} = \frac{54}{a^{8-6}} = \frac{54}{a^2} \] Ответ: \( \frac{54}{a^2} \) 5. Найдите значение выражения \[ \frac{(a-2)^2 - 2(a-2) + 1}{a-3} \] Решение: Заметим, что числитель является квадратом разности: \( x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \). В нашем случае \( x = (a-2) \). Значит, числитель равен \( ((a-2)-1)^2 = (a-3)^2 \). Тогда выражение принимает вид: \[ \frac{(a-3)^2}{a-3} \] Сокращаем \( (a-3) \) в числителе и знаменателе. \[ \frac{(a-3)^2}{a-3} = a-3 \] Ответ: \( a-3 \) 6. Найдите значение выражения \[ \frac{9b^2}{a^2-16} : \frac{9b}{a-4} \] Решение: Разложим знаменатель первой дроби как разность квадратов: \( a^2 - 16 = (a-4)(a+4) \). Тогда выражение принимает вид: \[ \frac{9b^2}{(a-4)(a+4)} : \frac{9b}{a-4} \] Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: \[ \frac{9b^2}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{a-4}{9b} \] Сокращаем \( (a-4) \) и \( 9b \). \[ \frac{b}{a+4} \] Ответ: \( \frac{b}{a+4} \) 7. Найдите значение выражения \[ \left(9a^2 - \frac{1}{49b^2}\right) : \left(3a - \frac{1}{7b}\right) \] Решение: Заметим, что выражение в первой скобке является разностью квадратов: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \). В нашем случае \( x = 3a \) и \( y = \frac{1}{7b} \). Значит, \( 9a^2 - \frac{1}{49b^2} = (3a)^2 - \left(\frac{1}{7b}\right)^2 = \left(3a - \frac{1}{7b}\right)\left(3a + \frac{1}{7b}\right) \). Тогда выражение принимает вид: \[ \left(3a - \frac{1}{7b}\right)\left(3a + \frac{1}{7b}\right) : \left(3a - \frac{1}{7b}\right) \] Сокращаем \( \left(3a - \frac{1}{7b}\right) \). \[ 3a + \frac{1}{7b} \] Ответ: \( 3a + \frac{1}{7b} \) 8. Найдите значение выражения \[ b^{25} \cdot \left(\frac{5}{b^6}\right)^4 \] Решение: \[ b^{25} \cdot \left(\frac{5}{b^6}\right)^4 = b^{25} \cdot \frac{5^4}{(b^6)^4} = b^{25} \cdot \frac{625}{b^{24}} \] \[ = \frac{625b^{25}}{b^{24}} = 625b^{25-24} = 625b \] Ответ: \( 625b \) 9. Найдите значение выражения \[ \left(25a^2 - \frac{1}{16b^2}\right) : \left(5a - \frac{1}{4b}\right) \] Решение: Заметим, что выражение в первой скобке является разностью квадратов: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \). В нашем случае \( x = 5a \) и \( y = \frac{1}{4b} \). Значит, \( 25a^2 - \frac{1}{16b^2} = (5a)^2 - \left(\frac{1}{4b}\right)^2 = \left(5a - \frac{1}{4b}\right)\left(5a + \frac{1}{4b}\right) \). Тогда выражение принимает вид: \[ \left(5a - \frac{1}{4b}\right)\left(5a + \frac{1}{4b}\right) : \left(5a - \frac{1}{4b}\right) \] Сокращаем \( \left(5a - \frac{1}{4b}\right) \). \[ 5a + \frac{1}{4b} \] Ответ: \( 5a + \frac{1}{4b} \) 10. Найдите значение выражения \[ b^{-14} \cdot (4b^8)^2 \] Решение: \[ b^{-14} \cdot (4b^8)^2 = b^{-14} \cdot 4^2 \cdot (b^8)^2 = b^{-14} \cdot 16 \cdot b^{16} \] \[ = 16 \cdot b^{-14+16} = 16b^2 \] Ответ: \( 16b^2 \) 11. Найдите значение выражения \[ \frac{x^3y - xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2-y^2} \] Решение: Разложим числитель первой дроби: \( x^3y - xy^3 = xy(x^2 - y^2) \). Разложим знаменатель второй дроби: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \). Заметим, что \( (y-x) = -(x-y) \). Подставим это в выражение: \[ \frac{xy(x^2 - y^2)}{2(-(x-y))} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} \] \[ = \frac{xy(x-y)(x+y)}{-2(x-y)} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} \] Сокращаем \( (x-y) \) и \( (x+y) \). \[ = \frac{xy}{-2} \cdot 3 = -\frac{3xy}{2} \] Ответ: \( -\frac{3xy}{2} \) 12. Найдите значение выражения \[ b^{-19} \cdot (4b^7)^3 \] Решение: \[ b^{-19} \cdot (4b^7)^3 = b^{-19} \cdot 4^3 \cdot (b^7)^3 = b^{-19} \cdot 64 \cdot b^{21} \] \[ = 64 \cdot b^{-19+21} = 64b^2 \] Ответ: \( 64b^2 \) 13. Найдите значение выражения \[ \frac{15}{k^2-l^2} \cdot \frac{k^2+l^2}{(k-l)^2 \cdot (k+l)^2} \] Решение: Заметим, что \( k^2-l^2 = (k-l)(k+l) \). Также \( (k-l)^2 \cdot (k+l)^2 = ((k-l)(k+l))^2 = (k^2-l^2)^2 \). Подставим это в выражение: \[ \frac{15}{(k-l)(k+l)} \cdot \frac{k^2+l^2}{(k^2-l^2)^2} \] \[ = \frac{15}{(k^2-l^2)} \cdot \frac{k^2+l^2}{(k^2-l^2)^2} \] \[ = \frac{15(k^2+l^2)}{(k^2-l^2)^3} \] Ответ: \( \frac{15(k^2+l^2)}{(k^2-l^2)^3} \)