Задача: Найдите состав смеси кислорода и азота в массовых долях, если плотность по водороду этой смеси равна 17.
Дано:
- Относительная плотность смеси по водороду \(D_{\text{H}_2} = 17\)
Найти:
- Массовая доля кислорода \(\omega(\text{O}_2)\)
- Массовая доля азота \(\omega(\text{N}_2)\)
Решение:
1. Определим среднюю молярную массу смеси.
Относительная плотность газа по водороду определяется как отношение молярной массы газа к молярной массе водорода:
\[D_{\text{H}_2} = \frac{M_{\text{смеси}}}{M_{\text{H}_2}}\]Молярная масса водорода (\(\text{H}_2\)): \(M_{\text{H}_2} = 2 \cdot 1 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 2 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\)
Отсюда найдем среднюю молярную массу смеси:
\[M_{\text{смеси}} = D_{\text{H}_2} \cdot M_{\text{H}_2}\] \[M_{\text{смеси}} = 17 \cdot 2 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 34 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\]2. Запишем молярные массы компонентов смеси.
- Молярная масса кислорода (\(\text{O}_2\)): \(M_{\text{O}_2} = 2 \cdot 16 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 32 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\)
- Молярная масса азота (\(\text{N}_2\)): \(M_{\text{N}_2} = 2 \cdot 14 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 28 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\)
3. Составим систему уравнений для определения мольных долей.
Пусть \(x\) – мольная доля кислорода (\(\text{O}_2\)), а \(y\) – мольная доля азота (\(\text{N}_2\)).
Сумма мольных долей равна 1:
\[x + y = 1 \quad (1)\]Средняя молярная масса смеси также выражается через мольные доли компонентов:
\[M_{\text{смеси}} = x \cdot M_{\text{O}_2} + y \cdot M_{\text{N}_2}\] \[34 = x \cdot 32 + y \cdot 28 \quad (2)\]Из уравнения (1) выразим \(y\): \(y = 1 - x\)
Подставим это выражение в уравнение (2):
\[34 = 32x + 28(1 - x)\] \[34 = 32x + 28 - 28x\] \[34 - 28 = 32x - 28x\] \[6 = 4x\] \[x = \frac{6}{4} = 1,5\]Ой, что-то пошло не так. Мольная доля не может быть больше 1. Давайте перепроверим расчеты или условия задачи. Возможно, я неправильно интерпретировал "плотность по водороду".
Перепроверим молярные массы: \(M_{\text{O}_2} = 32 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\), \(M_{\text{N}_2} = 28 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\). Средняя молярная масса \(34 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\).
Если \(x\) – мольная доля \(\text{O}_2\), то \(1-x\) – мольная доля \(\text{N}_2\).
Тогда \(M_{\text{смеси}} = x \cdot M_{\text{O}_2} + (1-x) \cdot M_{\text{N}_2}\)
\[34 = x \cdot 32 + (1-x) \cdot 28\] \[34 = 32x + 28 - 28x\] \[34 - 28 = 32x - 28x\] \[6 = 4x\] \[x = \frac{6}{4} = 1,5\]Действительно, мольная доля получилась больше 1. Это означает, что такая смесь не может существовать с данными параметрами, или я допустил ошибку в интерпретации условия. Давайте предположим, что в условии задачи опечатка, и плотность по водороду должна быть меньше 16 (если бы был только кислород) или больше 14 (если бы был только азот). Если средняя молярная масса 34, а молярные массы компонентов 28 и 32, то средняя молярная масса 34 не может быть получена из этих компонентов, так как 34 больше 32.
Возможно, в условии задачи имелась в виду другая смесь или другое значение плотности.
Если бы, например, плотность по водороду была 15, тогда \(M_{\text{смеси}} = 15 \cdot 2 = 30 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\).
Тогда:
\[30 = 32x + 28(1 - x)\] \[30 = 32x + 28 - 28x\] \[30 - 28 = 4x\] \[2 = 4x\] \[x = \frac{2}{4} = 0,5\]В этом случае мольная доля кислорода \(x = 0,5\), а мольная доля азота \(y = 1 - 0,5 = 0,5\).
Тогда массовые доли:
Масса кислорода в 1 моль смеси: \(m_{\text{O}_2} = x \cdot M_{\text{O}_2} = 0,5 \cdot 32 = 16 \text{ г}\)
Масса азота в 1 моль смеси: \(m_{\text{N}_2} = y \cdot M_{\text{N}_2} = 0,5 \cdot 28 = 14 \text{ г}\)
Общая масса 1 моль смеси: \(M_{\text{смеси}} = 16 + 14 = 30 \text{ г}\)
Массовая доля кислорода: \(\omega(\text{O}_2) = \frac{m_{\text{O}_2}}{M_{\text{смеси}}} = \frac{16}{30} \approx 0,5333\) или \(53,33\%\)
Массовая доля азота: \(\omega(\text{N}_2) = \frac{m_{\text{N}_2}}{M_{\text{смеси}}} = \frac{14}{30} \approx 0,4667\) или \(46,67\%\)
Вывод: С исходными данными задачи (плотность по водороду 17) смесь кислорода и азота не может иметь такую плотность, так как средняя молярная масса (34 г/моль) превышает молярную массу самого тяжелого компонента (кислорода, 32 г/моль). Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.
Если бы плотность по водороду была, например, 15, то решение было бы таким, как показано выше.
Для корректного решения задачи необходимо уточнить исходные данные.