Вот решение контрольной работы.
Контрольная работа № 1
по вероятности и статистике (8 класс)
Вариант 3.
№1. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия.
Найти:
а) наибольшее и наименьшее значения температуры за сутки;
б) размах значений температуры за сутки;
в) укажите, возрастала или убывала температура с 6:30 до 12 часов;
г) укажите, возрастала или убывала температура с 16:00 до 21:00.
Решение №1:
а) По графику видно, что:
Наибольшее значение температуры (максимум графика) составляет \(10^\circ C\). Это происходит примерно в 15:00.
Наименьшее значение температуры (минимум графика) составляет \(-4^\circ C\). Это происходит примерно в 3:00.
Ответ:
Наибольшее значение температуры: \(10^\circ C\).
Наименьшее значение температуры: \(-4^\circ C\).
б) Размах значений температуры - это разность между наибольшим и наименьшим значениями.
Размах \( = \) Наибольшее значение \( - \) Наименьшее значение
Размах \( = 10^\circ C - (-4^\circ C) = 10^\circ C + 4^\circ C = 14^\circ C\).
Ответ:
Размах значений температуры за сутки: \(14^\circ C\).
в) Рассмотрим интервал времени с 6:30 до 12 часов.
В 6:30 температура составляет примерно \(-2^\circ C\).
В 12:00 температура составляет примерно \(6^\circ C\).
Поскольку температура увеличилась с \(-2^\circ C\) до \(6^\circ C\), температура возрастала.
Ответ:
С 6:30 до 12 часов температура возрастала.
г) Рассмотрим интервал времени с 16:00 до 21:00.
В 16:00 температура составляет примерно \(9^\circ C\).
В 21:00 температура составляет примерно \(0^\circ C\).
Поскольку температура уменьшилась с \(9^\circ C\) до \(0^\circ C\), температура убывала.
Ответ:
С 16:00 до 21:00 температура убывала.
№2. Для числового набора: \(3; 100; -4; -91; 6,4; -10; 0; -3,6\) найдите:
а) среднее арифметическое;
б) медиану;
в) наибольшее и наименьшее значения;
г) размах.
Решение №2:
Сначала запишем числовой набор в порядке возрастания для удобства:
\(-91; -10; -4; -3,6; 0; 3; 6,4; 100\).
Количество чисел в наборе \(n = 8\).
а) Среднее арифметическое - это сумма всех чисел, деленная на их количество.
Сумма чисел \( = 3 + 100 + (-4) + (-91) + 6,4 + (-10) + 0 + (-3,6) \)
Сумма чисел \( = 3 + 100 - 4 - 91 + 6,4 - 10 + 0 - 3,6 \)
Сумма чисел \( = (3 + 100 + 6,4) - (4 + 91 + 10 + 3,6) \)
Сумма чисел \( = 109,4 - 108,6 = 0,8 \)
Среднее арифметическое \( = \frac{0,8}{8} = 0,1 \).
Ответ:
Среднее арифметическое: \(0,1\).
б) Медиана - это число, которое находится в середине упорядоченного числового набора. Если количество чисел четное, медиана - это среднее арифметическое двух центральных чисел.
Упорядоченный набор: \(-91; -10; -4; -3,6; 0; 3; 6,4; 100\).
Количество чисел \(n = 8\) (четное).
Два центральных числа: \(-3,6\) и \(0\).
Медиана \( = \frac{-3,6 + 0}{2} = \frac{-3,6}{2} = -1,8 \).
Ответ:
Медиана: \(-1,8\).
в) Наибольшее и наименьшее значения.
Из упорядоченного набора: \(-91; -10; -4; -3,6; 0; 3; 6,4; 100\).
Наибольшее значение: \(100\).
Наименьшее значение: \(-91\).
Ответ:
Наибольшее значение: \(100\).
Наименьшее значение: \(-91\).
г) Размах - это разность между наибольшим и наименьшим значениями.
Размах \( = 100 - (-91) = 100 + 91 = 191 \).
Ответ:
Размах: \(191\).
№3. Заданы множества M и N: \(M = \{3; -5; 4; 9,4; 100; -1; 0\}\) и \(N = \{9; 3; 0; -2; -7; 99; 3,2\}\). Найдите:
а) пересечение множеств M и N;
б) объединение множеств M и N.
Для каждого из пунктов а) и б) нарисуйте круги Эйлера.
Решение №3:
а) Пересечение множеств M и N (\(M \cap N\)) - это множество элементов, которые принадлежат как M, так и N.
Элементы множества M: \(3; -5; 4; 9,4; 100; -1; 0\).
Элементы множества N: \(9; 3; 0; -2; -7; 99; 3,2\).
Общие элементы: \(3\) и \(0\).
Значит, \(M \cap N = \{3; 0\}\).
Круги Эйлера для пересечения:
(Представьте два пересекающихся круга. Один круг - это множество M, другой - множество N. Общая часть, где круги пересекаются, содержит элементы \(3\) и \(0\). Остальные элементы M находятся в части круга M, не пересекающейся с N: \(-5; 4; 9,4; 100; -1\). Остальные элементы N находятся в части круга N, не пересекающейся с M: \(9; -2; -7; 99; 3,2\).)
б) Объединение множеств M и N (\(M \cup N\)) - это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств M или N.
Для объединения мы собираем все уникальные элементы из обоих множеств.
Элементы M: \(3; -5; 4; 9,4; 100; -1; 0\).
Элементы N: \(9; 3; 0; -2; -7; 99; 3,2\).
Объединяем и убираем дубликаты:
\(M \cup N = \{-7; -5; -2; -1; 0; 3; 3,2; 4; 9; 9,4; 99; 100\}\).
Круги Эйлера для объединения:
(Представьте два пересекающихся круга. Один круг - это множество M, другой - множество N. Все элементы, которые мы перечислили в объединении, находятся внутри этих двух кругов. Элементы \(3\) и \(0\) находятся в общей части. Остальные элементы M находятся в части круга M, не пересекающейся с N. Остальные элементы N находятся в части круга N, не пересекающейся с M.)
№4. Для данного числового набора составьте таблицу отклонений от среднего арифметического и квадратов отклонений от среднего арифметического и найдите дисперсию: \(11, 15, 17, 21\).
Решение №4:
Данный числовой набор: \(11, 15, 17, 21\).
Количество чисел \(n = 4\).
Шаг 1: Найдем среднее арифметическое (\(\bar{x}\)).
\(\bar{x} = \frac{11 + 15 + 17 + 21}{4} = \frac{64}{4} = 16\).
Шаг 2: Составим таблицу отклонений от среднего арифметического (\(x_i - \bar{x}\)) и квадратов отклонений (\((x_i - \bar{x})^2\)).
| \(x_i\) |
\(x_i - \bar{x}\) |
\((x_i - \bar{x})^2\) |
| 11 |
\(11 - 16 = -5\) |
\((-5)^2 = 25\) |
| 15 |
\(15 - 16 = -1\) |
\((-1)^2 = 1\) |
| 17 |
\(17 - 16 = 1\) |
\(1^2 = 1\) |
| 21 |
\(21 - 16 = 5\) |
\(5^2 = 25\) |
Шаг 3: Найдем сумму квадратов отклонений.
Сумма \((x_i - \bar{x})^2 = 25 + 1 + 1 + 25 = 52\).
Шаг 4: Найдем дисперсию (\(D\)).
Дисперсия - это среднее арифметическое квадратов отклонений.
Формула для дисперсии:
\[D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}\]
В нашем случае:
\[D = \frac{52}{4} = 13\]
Ответ:
Среднее арифметическое: \(16\).
Таблица отклонений и квадратов отклонений:
| \(x_i\) |
\(x_i - \bar{x}\) |
\((x_i - \bar{x})^2\) |
| 11 |
-5 |
25 |
| 15 |
-1 |
1 |
| 17 |
1 |
1 |
| 21 |
5 |
25 |
Дисперсия: \(13\).
