Задача: Какая функция соответствует приведенной ниже таблице истинности:
| B | |||
| 1 | 0 | ||
| A | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | |
Решение:
Для начала, давайте перепишем таблицу истинности в более привычном виде, где столбцы соответствуют входным переменным \(A\) и \(B\), а последний столбец - результату функции \(F(A, B)\).
| A | B | F(A, B) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Теперь давайте вспомним таблицы истинности для основных логических функций, предложенных в вариантах ответа:
1. Дизъюнкция (логическое ИЛИ, \(A \lor B\)):
| A | B | \(A \lor B\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Наша таблица отличается от дизъюнкции (например, при \(A=1, B=0\) наша функция дает 0, а дизъюнкция - 1).
2. Импликация (\(A \to B\)):
| A | B | \(A \to B\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Наша таблица отличается от импликации (например, при \(A=0, B=1\) наша функция дает 0, а импликация - 1).
3. Конъюнкция (логическое И, \(A \land B\)):
| A | B | \(A \land B\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Эта таблица полностью совпадает с нашей таблицей истинности!
4. Эквивалентность (\(A \leftrightarrow B\)):
| A | B | \(A \leftrightarrow B\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Наша таблица отличается от эквивалентности (например, при \(A=0, B=0\) наша функция дает 0, а эквивалентность - 1).
5. Инверсия (логическое НЕ, \(\neg A\) или \(\neg B\)):
Инверсия - это унарная операция (действует на одну переменную). Наша функция имеет две входные переменные \(A\) и \(B\), поэтому это не инверсия.
Таким образом, функция, соответствующая данной таблице истинности, это Конъюнкция.
Правильный ответ: Конъюнкция
Объяснение для тетради:
1. Перепишем данную таблицу истинности в стандартном виде:
| A | B | Результат |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
2. Сравним эту таблицу с таблицами истинности основных логических операций:
- Дизъюнкция (ИЛИ): \(A \lor B\) истинна, если хотя бы одна из переменных \(A\) или \(B\) истинна. В нашей таблице при \(A=1, B=0\) результат 0, а для дизъюнкции было бы 1. Значит, это не дизъюнкция.
- Импликация (ЕСЛИ...ТО...): \(A \to B\) ложна только тогда, когда \(A\) истинно, а \(B\) ложно. В нашей таблице при \(A=0, B=1\) результат 0, а для импликации было бы 1. Значит, это не импликация.
- Конъюнкция (И): \(A \land B\) истинна только тогда, когда обе переменные \(A\) и \(B\) истинны. Во всех остальных случаях она ложна.
- При \(A=1, B=1\): \(1 \land 1 = 1\) (совпадает)
- При \(A=1, B=0\): \(1 \land 0 = 0\) (совпадает)
- При \(A=0, B=1\): \(0 \land 1 = 0\) (совпадает)
- При \(A=0, B=0\): \(0 \land 0 = 0\) (совпадает)
- Эквивалентность (РАВНОСИЛЬНО): \(A \leftrightarrow B\) истинна, когда \(A\) и \(B\) имеют одинаковые значения. В нашей таблице при \(A=0, B=0\) результат 0, а для эквивалентности было бы 1. Значит, это не эквивалентность.
- Инверсия (НЕ): Это операция для одной переменной, а у нас две.
3. Таким образом, данная таблица истинности соответствует логической операции Конъюнкция.