Отлично, давайте решим эту задачу по планиметрии.
Задача:
В параллелограмме \(MSFK\) проведена биссектриса угла \(M\), пересекающая сторону \(SF\) в точке \(P\).
Найдите \(PF\), если \(MS = 12\) см; а периметр параллелограмма равен \(58\) см.
Решение:
1. Нарисуем параллелограмм \(MSFK\).
* Стороны параллелограмма: \(MS\), \(SF\), \(FK\), \(KM\).
* Противоположные стороны параллелограмма равны: \(MS = FK\) и \(SF = KM\).
2. Дано:
* \(MS = 12\) см.
* Периметр \(P_{MSFK} = 58\) см.
* Биссектриса угла \(M\) пересекает \(SF\) в точке \(P\).
3. Найдем длину стороны \(SF\).
* Периметр параллелограмма равен \(2 \cdot (MS + SF)\).
* \(58 = 2 \cdot (12 + SF)\)
* Разделим обе части на 2: \(29 = 12 + SF\)
* Вычтем 12 из обеих частей: \(SF = 29 - 12\)
* \(SF = 17\) см.
4. Рассмотрим биссектрису \(MP\) угла \(M\).
* Поскольку \(MSFK\) - параллелограмм, стороны \(MS\) и \(FK\) параллельны, а также \(MF\) и \(SK\) параллельны.
* Углы \(\angle SMF\) и \(\angle MFK\) являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых \(SM\) и \(FK\) и секущей \(MF\). Нет, это неверно.
* Углы \(\angle SMF\) и \(\angle KMF\) - это углы параллелограмма.
* Важно: \(MS\) параллельна \(FK\). \(MF\) - секущая.
* Углы \(\angle SMF\) и \(\angle MFK\) - это углы при вершинах \(M\) и \(F\).
* Углы \(\angle SMF\) и \(\angle KMF\) - это углы при вершине \(M\).
* Углы \(\angle SMF\) и \(\angle FKM\) - это углы при вершинах \(M\) и \(K\).
* Углы \(\angle SMF\) и \(\angle SFM\) - это углы треугольника \(SMF\).
* Рассмотрим параллельные прямые \(MS\) и \(FK\). Секущая \(MP\) пересекает их.
* Угол \(\angle SMP\) и угол \(\angle MPK\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(MS\) и \(FK\) и секущей \(MP\). Нет, это неверно.
* Угол \(\angle SMP\) и угол \(\angle FPM\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(MS\) и \(FK\) и секущей \(MP\). Нет, это неверно.
* Угол \(\angle SMP\) и угол \(\angle PMF\) - это углы, на которые биссектриса \(MP\) делит угол \(M\).
* Значит, \(\angle SMP = \angle PMF\).
* Теперь рассмотрим параллельные прямые \(MS\) и \(FK\). Секущая \(MP\) пересекает их.
* Угол \(\angle SMP\) и угол \(\angle FPM\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(MS\) и \(FK\) и секущей \(MP\). Нет, это неверно.
* Угол \(\angle SMP\) и угол \(\angle KPM\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(MS\) и \(FK\) и секущей \(MP\). Нет, это неверно.
* Угол \(\angle SMP\) и угол \(\angle MPF\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(MS\) и \(KF\) (или \(SF\)) и секущей \(MP\).
* То есть, \(\angle SMP = \angle MPF\).
5. Из пунктов 4 следует, что:
* \(\angle SMP = \angle PMF\) (по определению биссектрисы)
* \(\angle SMP = \angle MPF\) (как накрест лежащие углы при \(MS \parallel KF\) и секущей \(MP\))
* Следовательно, \(\angle PMF = \angle MPF\).
6. Рассмотрим треугольник \(MPF\).
* Поскольку \(\angle PMF = \angle MPF\), треугольник \(MPF\) является равнобедренным.
* Стороны, лежащие напротив равных углов, равны.
* Значит, \(PF = MF\).
7. В параллелограмме противоположные стороны равны.
* \(MF = SK\).
* Также \(MS = FK = 12\) см.
* И \(SF = KM = 17\) см.
* Значит, \(MF\) - это сторона, равная \(KM\), то есть \(MF = 17\) см.
8. Из пункта 6 и 7 следует:
* \(PF = MF = 17\) см.
9. Проверим еще раз.
* В параллелограмме \(MSFK\), \(MS \parallel FK\).
* Биссектриса \(MP\) угла \(M\) делит его на два равных угла: \(\angle SMP = \angle PMK\).
* Углы \(\angle PMK\) и \(\angle MPF\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(MK\) и \(SF\) и секущей \(MP\). Нет, это неверно.
* Углы \(\angle SM P\) и \(\angle KPM\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(MS\) и \(FK\) и секущей \(MP\). Нет, это неверно.
* Давайте перерисуем параллелограмм и обозначим углы.
* Вершины: \(M, S, F, K\) (по часовой стрелке или против). Пусть будет \(M\) (верхняя левая), \(S\) (верхняя правая), \(F\) (нижняя правая), \(K\) (нижняя левая).
* Стороны: \(MS\), \(SF\), \(FK\), \(KM\).
* \(MS \parallel FK\). \(KM \parallel SF\).
* Биссектриса угла \(M\) (то есть \(\angle K M S\)) - это \(MP\).
* Она пересекает сторону \(SF\) в точке \(P\).
* Угол \(\angle KMP = \angle PMS\) (по определению биссектрисы).
* Поскольку \(KM \parallel SF\), то \(\angle KMP\) и \(\angle MPF\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(KM\) и \(SF\) и секущей \(MP\).
* Следовательно, \(\angle KMP = \angle MPF\).
* Из этого следует, что \(\angle PMS = \angle MPF\).
* Рассмотрим треугольник \(MSP\).
* Углы \(\angle PMS\) и \(\angle MPF\) - это углы в треугольнике \(MSP\). Нет, это неверно.
* Углы \(\angle PMS\) и \(\angle MPS\) - это углы в треугольнике \(MSP\).
* Мы получили, что \(\angle PMS = \angle MPF\).
* В треугольнике \(MSP\), если \(\angle PMS = \angle MPS\), то он равнобедренный с \(MS = SP\).
* Давайте еще раз внимательно.
* Параллелограмм \(MSFK\).
* Биссектриса угла \(M\) (то есть \(\angle K M S\)) - это \(MP\).
* Она пересекает сторону \(SF\) в точке \(P\).
* Углы: \(\angle KMP = \angle PMS\) (по определению биссектрисы).
* Стороны \(KM\) и \(SF\) параллельны. \(MP\) - секущая.
* Значит, накрест лежащие углы \(\angle KMP\) и \(\angle MPS\) равны.
* То есть, \(\angle KMP = \angle MPS\).
* Из этого следует, что \(\angle PMS = \angle MPS\).
* Рассмотрим треугольник \(MSP\).
* В этом треугольнике углы при основании \(MP\) равны: \(\angle PMS = \angle MPS\).
* Следовательно, треугольник \(MSP\) является равнобедренным с основанием \(MP\).
* Значит, стороны, лежащие напротив этих углов, равны: \(MS = SP\).
10. Теперь используем данные:
* \(MS = 12\) см.
* Значит, \(SP = 12\) см.
11. Мы знаем, что \(SF = 17\) см (из пункта 3).
* Сторона \(SF\) состоит из отрезков \(SP\) и \(PF\).
* \(SF = SP + PF\)
* \(17 = 12 + PF\)
* \(PF = 17 - 12\)
* \(PF = 5\) см.
Окончательный ответ: \(PF = 5\) см.
Давайте запишем решение в тетрадь:
Задача: В параллелограмме \(MSFK\) проведена биссектриса угла \(M\), пересекающая сторону \(SF\) в точке \(P\). Найдите \(PF\), если \(MS = 12\) см; а периметр параллелограмма равен \(58\) см.
Дано:
- Параллелограмм \(MSFK\).
- Биссектриса угла \(M\) - отрезок \(MP\).
- Точка \(P\) лежит на стороне \(SF\).
- \(MS = 12\) см.
- Периметр \(P_{MSFK} = 58\) см.
Найти: \(PF\).
Решение:
В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, \(MS = FK = 12\) см.
Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух смежных сторон: \(P_{MSFK} = 2 \cdot (MS + SF)\).
Подставим известные значения в формулу периметра:
\[58 = 2 \cdot (12 + SF)\]
\[29 = 12 + SF\]
\[SF = 29 - 12\]
\[SF = 17 \text{ см.}\]
Таким образом, длина стороны \(SF\) равна \(17\) см.
Рассмотрим биссектрису \(MP\) угла \(M\). По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:
\[\angle KMP = \angle PMS\]В параллелограмме \(MSFK\) стороны \(KM\) и \(SF\) параллельны (\(KM \parallel SF\)). Отрезок \(MP\) является секущей.
Углы \(\angle KMP\) и \(\angle MPS\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(KM\) и \(SF\) и секущей \(MP\). Следовательно, они равны:
\[\angle KMP = \angle MPS\]Из пунктов 4 и 6 следует, что:
\[\angle PMS = \angle MPS\]Рассмотрим треугольник \(MSP\). В этом треугольнике углы при основании \(MP\) равны (\(\angle PMS = \angle MPS\)). Это означает, что треугольник \(MSP\) является равнобедренным с основанием \(MP\).
В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Значит, \(MS = SP\).
Поскольку \(MS = 12\) см (дано), то \(SP = 12\) см.
Сторона \(SF\) состоит из двух отрезков: \(SP\) и \(PF\). То есть, \(SF = SP + PF\).
Подставим известные значения:
\[17 = 12 + PF\]
\[PF = 17 - 12\]
\[PF = 5 \text{ см.}\]
Ответ: \(5\) см.
