Задача: В параллелограмме MSFK проведена биссектриса угла M, пересекающая сторону SF в точке P. Найдите PF, если MS = 12 см, а периметр параллелограмма равен 58 см. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
1. Нарисуем параллелограмм MSFK. Отметим, что в параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, MS = FK = 12 см.
2. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. Формула периметра: \(P = 2 \cdot (a + b)\), где \(a\) и \(b\) — длины смежных сторон.
3. Нам известен периметр \(P = 58\) см и одна сторона \(MS = 12\) см. Пусть другая сторона будет \(MF\).
4. Подставим известные значения в формулу периметра:
\[58 = 2 \cdot (12 + MF)\]5. Разделим обе части уравнения на 2:
\[\frac{58}{2} = 12 + MF\] \[29 = 12 + MF\]6. Найдем длину стороны \(MF\):
\[MF = 29 - 12\] \[MF = 17 \text{ см}\]7. Теперь рассмотрим биссектрису угла M. Биссектриса MP делит угол M на два равных угла. То есть, \(\angle SMP = \angle PMF\).
8. В параллелограмме MSFK стороны MS и FK параллельны. Сторона SF является секущей. Отсюда следует, что внутренние накрест лежащие углы равны: \(\angle PMF = \angle SPF\).
9. Из пунктов 7 и 8 следует, что \(\angle SMP = \angle SPF\). Это означает, что треугольник MSP является равнобедренным, так как углы при основании SP равны.
10. В равнобедренном треугольнике MSP стороны, лежащие против равных углов, также равны. Значит, \(MS = SP\).
11. Мы знаем, что \(MS = 12\) см, поэтому \(SP = 12\) см.
12. Сторона SF параллелограмма состоит из двух отрезков: \(SF = SP + PF\).
13. Мы знаем, что \(SF = MF = 17\) см (противоположные стороны параллелограмма равны) и \(SP = 12\) см.
14. Подставим эти значения в уравнение:
\[17 = 12 + PF\]15. Найдем длину отрезка \(PF\):
\[PF = 17 - 12\] \[PF = 5 \text{ см}\]Ответ: 5