Решение задачи 5: Напряженность поля концентрических сфер

Задача 5 2.8. Две однородно заряженные сферы имеют общий центр (концентрические сферы). Их радиусы равны \(R\) и \(3R\), а заряды соответственно \(3q\) и \(-q\). Найдите модуль \(E\) вектора напряженности электрического поля в точках, удаленных на расстояние \(r\) от центра сфер. Постройте график зависимости \(E(r)\). Решение: Для решения этой задачи воспользуемся принципом суперпозиции и формулой для напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой. Напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой с зарядом \(Q\) и радиусом \(R_0\), на расстоянии \(r\) от её центра: 1. Внутри сферы (\(r < R_0\)): \(E = 0\) (если сфера проводящая или заряд распределен по поверхности). Если заряд распределен по объему, то \(E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qr}{R_0^3}\). В данной задаче, поскольку не указано, что сферы проводящие, и сказано "однородно заряженные", будем считать, что заряд распределен по объему. Однако, для однородно заряженной сферы, если заряд распределен по поверхности, то внутри сферы поле равно нулю. Если же заряд распределен по объему, то поле внутри сферы не равно нулю. В задачах такого типа, если не указано иное, обычно подразумевается, что заряд распределен по поверхности или что мы рассматриваем поле вне сферы как поле точечного заряда. Давайте рассмотрим оба варианта. Если сферы *проводящие* или заряд *распределен по поверхности*: - Внутри сферы (\(r < R_0\)): \(E = 0\) - Вне сферы (\(r \ge R_0\)): \(E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}\) Если сферы *диэлектрические* и заряд *распределен по объему*: - Внутри сферы (\(r < R_0\)): \(E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qr}{R_0^3}\) - Вне сферы (\(r \ge R_0\)): \(E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}\) Поскольку в условии сказано "однородно заряженные сферы", это может означать как поверхностное, так и объемное распределение. Однако, в большинстве стандартных задач по электростатике для школьников, если не указано иное, под "однородно заряженной сферой" подразумевается, что поле внутри сферы равно нулю, а вне сферы оно такое же, как от точечного заряда, расположенного в центре. Это соответствует случаю проводящей сферы или сферы, заряд которой распределен по поверхности. Будем придерживаться этого более простого и распространенного подхода. Итак, для каждой сферы: - Внутри сферы (\(r < R_0\)): \(E = 0\) - Вне сферы (\(r \ge R_0\)): \(E = k \frac{Q}{r^2}\), где \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\). Обозначим: - Малая сфера: радиус \(R_1 = R\), заряд \(Q_1 = 3q\). - Большая сфера: радиус \(R_2 = 3R\), заряд \(Q_2 = -q\). Рассмотрим три области: 1. Область I: \(0 \le r < R\) (внутри обеих сфер) В этой области мы находимся внутри малой сферы и внутри большой сферы. Поле от малой сферы (\(Q_1\)): \(E_1 = 0\) (поскольку \(r < R_1\)). Поле от большой сферы (\(Q_2\)): \(E_2 = 0\) (поскольку \(r < R_2\)). Суммарное поле: \(E(r) = E_1 + E_2 = 0 + 0 = 0\). 2. Область II: \(R \le r < 3R\) (между сферами) В этой области мы находимся вне малой сферы, но внутри большой сферы. Поле от малой сферы (\(Q_1\)): \(E_1 = k \frac{Q_1}{r^2} = k \frac{3q}{r^2}\) (направлено от центра, если \(q > 0\)). Поле от большой сферы (\(Q_2\)): \(E_2 = 0\) (поскольку \(r < R_2\)). Суммарное поле: \(E(r) = E_1 + E_2 = k \frac{3q}{r^2} + 0 = k \frac{3q}{r^2}\). Модуль напряженности: \(E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{3|q|}{r^2}\). 3. Область III: \(r \ge 3R\) (вне обеих сфер) В этой области мы находимся вне обеих сфер. Поле от малой сферы (\(Q_1\)): \(E_1 = k \frac{Q_1}{r^2} = k \frac{3q}{r^2}\) (направлено от центра, если \(q > 0\)). Поле от большой сферы (\(Q_2\)): \(E_2 = k \frac{Q_2}{r^2} = k \frac{-q}{r^2}\) (направлено к центру, если \(q > 0\)). Суммарное поле: \(E(r) = E_1 + E_2 = k \frac{3q}{r^2} + k \frac{-q}{r^2} = k \frac{3q - q}{r^2} = k \frac{2q}{r^2}\). Модуль напряженности: \(E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2|q|}{r^2}\). Окончательно запишем модуль напряженности электрического поля \(E(r)\): \[ E(r) = \begin{cases} 0, & \text{при } 0 \le r < R \\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{3|q|}{r^2}, & \text{при } R \le r < 3R \\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2|q|}{r^2}, & \text{при } r \ge 3R \end{cases} \] Теперь построим график зависимости \(E(r)\). Для удобства обозначим \(C = \frac{|q|}{4\pi\varepsilon_0}\). Тогда: \[ E(r) = \begin{cases} 0, & \text{при } 0 \le r < R \\ \frac{3C}{r^2}, & \text{при } R \le r < 3R \\ \frac{2C}{r^2}, & \text{при } r \ge 3R \end{cases} \] График будет выглядеть следующим образом: - От \(r=0\) до \(r=R\), \(E(r) = 0\). - В точке \(r=R\), \(E(R) = \frac{3C}{R^2}\). - От \(r=R\) до \(r=3R\), функция \(E(r) = \frac{3C}{r^2}\) убывает. - В точке \(r=3R\), \(E(3R) = \frac{3C}{(3R)^2} = \frac{3C}{9R^2} = \frac{C}{3R^2}\). - Для \(r \ge 3R\), функция \(E(r) = \frac{2C}{r^2}\) убывает. - В точке \(r=3R\), значение по второй формуле \(\frac{3C}{(3R)^2} = \frac{C}{3R^2}\). - В точке \(r=3R\), значение по третьей формуле \(\frac{2C}{(3R)^2} = \frac{2C}{9R^2}\). Обратите внимание, что в точке \(r=3R\) происходит скачок напряженности. Это связано с тем, что мы рассматриваем сферы с зарядом, распределенным по поверхности. Если бы заряд был распределен по объему, то напряженность была бы непрерывной. Давайте перепроверим значения на границах: При \(r=R\): - Из первой области: \(E(R^-) = 0\). - Из второй области: \(E(R^+) = \frac{3C}{R^2}\). Происходит скачок от 0 до \(\frac{3C}{R^2}\). При \(r=3R\): - Из второй области: \(E((3R)^-) = \frac{3C}{(3R)^2} = \frac{3C}{9R^2} = \frac{C}{3R^2}\). - Из третьей области: \(E((3R)^+) = \frac{2C}{(3R)^2} = \frac{2C}{9R^2}\). Происходит скачок от \(\frac{C}{3R^2}\) до \(\frac{2C}{9R^2}\). График: - Ось абсцисс: \(r\) - Ось ординат: \(E\) 1. На участке от 0 до \(R\), график лежит на оси \(r\) (значение \(E=0\)). 2. В точке \(r=R\), значение \(E\) резко возрастает до \(\frac{3C}{R^2}\). 3. На участке от \(R\) до \(3R\), график представляет собой гиперболу \(E = \frac{3C}{r^2}\), убывающую от \(\frac{3C}{R^2}\) до \(\frac{C}{3R^2}\). 4. В точке \(r=3R\), значение \(E\) резко изменяется от \(\frac{C}{3R^2}\) до \(\frac{2C}{9R^2}\). 5. На участке от \(3R\) до бесконечности, график представляет собой гиперболу \(E = \frac{2C}{r^2}\), убывающую от \(\frac{2C}{9R^2}\) к 0. (Здесь я не могу нарисовать график, но могу описать его словами, как выше). Ключевые точки для графика: - \(r=0\): \(E=0\) - \(r=R\): \(E\) скачок от 0 до \(\frac{3|q|}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\) - \(r=3R\): \(E\) скачок от \(\frac{|q|}{12\pi\varepsilon_0 R^2}\) до \(\frac{2|q|}{36\pi\varepsilon_0 R^2} = \frac{|q|}{18\pi\varepsilon_0 R^2}\) - \(r \to \infty\): \(E \to 0\) Это решение основано на предположении, что заряд распределен по поверхности сфер (или сферы проводящие), что является стандартным подходом в школьной физике, если не указано иное.