Задача:
Дано дифференциальное уравнение \(y'' + 5y' + 6 = 0\). Тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид ...
Варианты ответов:
1) \(k^2 - 5k + 6 = 0\)
2) \(k^2 + 5k - 6 = 0\)
3) \(k^2 + 5k + 6 = 0\)
4) \(-k^2 - 5k + 6 = 0\)
Решение:
Для того чтобы найти характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, мы заменяем каждую производную \(y^{(n)}\) на \(k^n\).
В данном нам дифференциальном уравнении \(y'' + 5y' + 6 = 0\):
- Вторая производная \(y''\) заменяется на \(k^2\).
- Первая производная \(y'\) заменяется на \(k^1\) (или просто \(k\)).
- Свободный член (константа) \(6\) остается без изменений, но умножается на \(k^0\), что равно \(1\).
Таким образом, мы получаем:
\[k^2 + 5k + 6 = 0\]
Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом 3.
Ответ:
3) \(k^2 + 5k + 6 = 0\)