Задача: Один из углов ромба равен \(60^\circ\), а меньшая диагональ — 4 см. Найдите периметр ромба. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
1. Нарисуем ромб. Обозначим его вершины, например, ABCD. В ромбе все стороны равны.
2. В ромбе противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\).
3. Если один из углов ромба равен \(60^\circ\), то противоположный ему угол также равен \(60^\circ\). Два других угла будут равны \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
4. Меньшая диагональ ромба соединяет вершины углов, равных \(60^\circ\). Пусть это будет диагональ BD, и она равна 4 см.
5. Рассмотрим треугольник ABD. Стороны AB и AD равны, так как это стороны ромба. Угол BAD равен \(60^\circ\).
6. Так как AB = AD и \(\angle BAD = 60^\circ\), то треугольник ABD является равнобедренным с углом при вершине \(60^\circ\). В таком треугольнике два других угла также равны:
\[\angle ABD = \angle ADB = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\]7. Поскольку все углы треугольника ABD равны \(60^\circ\), то треугольник ABD является равносторонним.
8. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Значит, \(AB = AD = BD\).
9. Мы знаем, что меньшая диагональ \(BD = 4\) см. Следовательно, сторона ромба \(AB = 4\) см.
10. Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Поскольку все стороны ромба равны, периметр можно найти по формуле: \(P = 4 \cdot a\), где \(a\) — длина стороны ромба.
11. Подставим значение стороны ромба в формулу периметра:
\[P = 4 \cdot 4\] \[P = 16 \text{ см}\]Ответ: 16