Решение задачи 16: Точечный заряд в диэлектрическом шаре

Задача 16 6.5. Точечный заряд \(q\) находится в центре шарового слоя из однородного изотропного диэлектрика. Внутренний и внешний радиусы слоя равны \(r_1\) и \(r_2\), проницаемость диэлектрика \(\varepsilon\), внутри и вне слоя вакуум. Определите: а) модуль \(E\) вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния \(r\) от центра слоя (постройте график зависимости \(E(r)\)); б) связанные заряды \(q_1'\) и \(q_2'\) на внутренней и внешней поверхностях слоя.
Решение: Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Гаусса для вектора электрического смещения \(D\). Вектор \(D\) связан с вектором напряженности электрического поля \(E\) соотношением \(D = \varepsilon_0 \varepsilon E\), где \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная, а \(\varepsilon\) - относительная диэлектрическая проницаемость среды.
а) Модуль \(E\) вектора напряженности электрического поля как функция расстояния \(r\) от центра слоя. Рассмотрим три области: 1. Область I: \(0 < r < r_1\) (внутри слоя, вакуум). В этой области среда - вакуум, поэтому \(\varepsilon = 1\). По теореме Гаусса для вектора \(D\): \[ \oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q \] Для сферической поверхности радиуса \(r\) с центром в заряде \(q\): \[ D \cdot 4\pi r^2 = q \] \[ D = \frac{q}{4\pi r^2} \] Так как \(D = \varepsilon_0 \varepsilon E\) и \(\varepsilon = 1\), то \(D = \varepsilon_0 E\). \[ E(r) = \frac{D}{\varepsilon_0} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \] 2. Область II: \(r_1 \le r \le r_2\) (внутри диэлектрического слоя). В этой области среда - диэлектрик с проницаемостью \(\varepsilon\). По теореме Гаусса для вектора \(D\): \[ \oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q \] \[ D \cdot 4\pi r^2 = q \] \[ D = \frac{q}{4\pi r^2} \] Так как \(D = \varepsilon_0 \varepsilon E\), то \[ E(r) = \frac{D}{\varepsilon_0 \varepsilon} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} \] 3. Область III: \(r > r_2\) (вне слоя, вакуум). В этой области среда - вакуум, поэтому \(\varepsilon = 1\). По теореме Гаусса для вектора \(D\): \[ \oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q \] \[ D \cdot 4\pi r^2 = q \] \[ D = \frac{q}{4\pi r^2} \] Так как \(D = \varepsilon_0 \varepsilon E\) и \(\varepsilon = 1\), то \(D = \varepsilon_0 E\). \[ E(r) = \frac{D}{\varepsilon_0} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \]
Таким образом, функция \(E(r)\) имеет вид: \[ E(r) = \begin{cases} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}, & 0 < r < r_1 \\ \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2}, & r_1 \le r \le r_2 \\ \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}, & r > r_2 \end{cases} \]
График зависимости \(E(r)\): График будет представлять собой три участка: * При \(0 < r < r_1\), \(E(r)\) убывает как \(1/r^2\). * При \(r_1 \le r \le r_2\), \(E(r)\) также убывает как \(1/r^2\), но значения будут в \(\varepsilon\) раз меньше, чем в вакууме. То есть, на границе \(r=r_1\) происходит скачок вниз, а на границе \(r=r_2\) - скачок вверх. * При \(r > r_2\), \(E(r)\) снова убывает как \(1/r^2\), возвращаясь к значениям, как если бы диэлектрика не было.
(Представьте себе график, где по горизонтальной оси отложено \(r\), а по вертикальной - \(E\). Начиная от \(r=0\) (где \(E\) стремится к бесконечности), кривая \(E(r)\) убывает. В точке \(r=r_1\) значение \(E\) резко уменьшается в \(\varepsilon\) раз. Затем кривая продолжает убывать, но уже с меньшими значениями. В точке \(r=r_2\) значение \(E\) резко увеличивается в \(\varepsilon\) раз, возвращаясь к исходной кривой \(q/(4\pi \varepsilon_0 r^2)\). Далее кривая продолжает убывать.)
б) Связанные заряды \(q_1'\) и \(q_2'\) на внутренней и внешней поверхностях слоя. Связанные заряды возникают на границах диэлектрика из-за поляризации. Плотность связанных зарядов \(\sigma'\) связана с нормальной составляющей вектора поляризации \(P_n\) соотношением \(\sigma' = P_n\). Вектор поляризации \(P\) связан с вектором электрического смещения \(D\) и вектором напряженности электрического поля \(E\) следующим образом: \[ \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P} \] Отсюда \[ \vec{P} = \vec{D} - \varepsilon_0 \vec{E} \] Используя \(D = \varepsilon_0 \varepsilon E\), получаем \[ \vec{P} = \varepsilon_0 \varepsilon \vec{E} - \varepsilon_0 \vec{E} = \varepsilon_0 (\varepsilon - 1) \vec{E} \]
1. На внутренней поверхности слоя (\(r = r_1\)): Вектор \(E\) направлен радиально от центра. Нормаль к поверхности также направлена радиально. На внутренней поверхности диэлектрика (со стороны диэлектрика) вектор \(E\) равен \(E(r_1) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r_1^2}\). Плотность связанных зарядов \(\sigma_1'\) на внутренней поверхности: \[ \sigma_1' = P(r_1) = \varepsilon_0 (\varepsilon - 1) E(r_1) = \varepsilon_0 (\varepsilon - 1) \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r_1^2} = \frac{(\varepsilon - 1)q}{4\pi \varepsilon r_1^2} \] Связанный заряд \(q_1'\) на внутренней поверхности: \[ q_1' = \sigma_1' \cdot S_1 = \frac{(\varepsilon - 1)q}{4\pi \varepsilon r_1^2} \cdot 4\pi r_1^2 = \frac{(\varepsilon - 1)q}{\varepsilon} \] Так как \(\varepsilon > 1\), то \(\varepsilon - 1 > 0\). Если \(q > 0\), то \(q_1' > 0\). Однако, обычно связанные заряды на внутренней поверхности диэлектрика, окружающего положительный заряд, имеют противоположный знак. Давайте перепроверим направление вектора поляризации. Вектор \(P\) направлен в ту же сторону, что и \(E\). Нормаль к внутренней поверхности диэлектрика, направленная внутрь диэлектрика, будет направлена от центра. Вектор \(P\) направлен от центра. Значит, \(P_n\) будет положительным, если нормаль направлена наружу, и отрицательным, если нормаль направлена внутрь. Принято считать, что нормаль к поверхности диэлектрика направлена из диэлектрика. Тогда на внутренней поверхности диэлектрика нормаль направлена к центру. Вектор \(P\) направлен от центра. Следовательно, \(P_n = -P\). \[ \sigma_1' = -P(r_1) = -\frac{(\varepsilon - 1)q}{4\pi \varepsilon r_1^2} \] \[ q_1' = \sigma_1' \cdot 4\pi r_1^2 = -\frac{(\varepsilon - 1)q}{\varepsilon} \] Это отрицательный заряд, что логично для поляризации диэлектрика вокруг положительного заряда. 2. На внешней поверхности слоя (\(r = r_2\)): На внешней поверхности диэлектрика (со стороны диэлектрика) вектор \(E\) равен \(E(r_2) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r_2^2}\). Нормаль к внешней поверхности диэлектрика направлена от центра. Вектор \(P\) также направлен от центра. Следовательно, \(P_n = P\). Плотность связанных зарядов \(\sigma_2'\) на внешней поверхности: \[ \sigma_2' = P(r_2) = \varepsilon_0 (\varepsilon - 1) E(r_2) = \varepsilon_0 (\varepsilon - 1) \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r_2^2} = \frac{(\varepsilon - 1)q}{4\pi \varepsilon r_2^2} \] Связанный заряд \(q_2'\) на внешней поверхности: \[ q_2' = \sigma_2' \cdot S_2 = \frac{(\varepsilon - 1)q}{4\pi \varepsilon r_2^2} \cdot 4\pi r_2^2 = \frac{(\varepsilon - 1)q}{\varepsilon} \] Это положительный заряд.
Проверка: Сумма связанных зарядов должна быть равна нулю, если диэлектрик нейтрален в целом. \[ q_1' + q_2' = -\frac{(\varepsilon - 1)q}{\varepsilon} + \frac{(\varepsilon - 1)q}{\varepsilon} = 0 \] Это подтверждает правильность расчетов.
Ответ: а) Модуль \(E\) вектора напряженности электрического поля как функция расстояния \(r\): \[ E(r) = \begin{cases} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}, & 0 < r < r_1 \\ \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2}, & r_1 \le r \le r_2 \\ \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}, & r > r_2 \end{cases} \] б) Связанные заряды на внутренней и внешней поверхностях слоя: На внутренней поверхности (\(r = r_1\)): \[ q_1' = -\frac{(\varepsilon - 1)q}{\varepsilon} \] На внешней поверхности (\(r = r_2\)): \[ q_2' = \frac{(\varepsilon - 1)q}{\varepsilon} \]