Решение:

Задание: Записать общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Дано дифференциальное уравнение: \[y'' + 2y' - 8y = (3x+1)e^{2x}\] Для нахождения общего вида частного решения \(y_ч\) линейного неоднородного дифференциального уравнения, мы сначала находим корни характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. 1. Составляем характеристическое уравнение для однородного уравнения \(y'' + 2y' - 8y = 0\): \[\lambda^2 + 2\lambda - 8 = 0\] 2. Находим корни характеристического уравнения. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или метод Виета. Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\) Корни: \[\lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2}\] \[\lambda_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[\lambda_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\] Таким образом, корни характеристического уравнения: \(\lambda_1 = 2\) и \(\lambda_2 = -4\). 3. Правая часть неоднородного уравнения имеет вид \(f(x) = P_n(x)e^{\alpha x}\), где \(P_n(x) = 3x+1\) (многочлен первой степени, то есть \(n=1\)) и \(\alpha = 2\). 4. Сравниваем показатель экспоненты \(\alpha\) с корнями характеристического уравнения. Мы видим, что \(\alpha = 2\) совпадает с одним из корней характеристического уравнения, а именно с \(\lambda_1 = 2\). Кратность этого корня \(k=1\) (корень встречается один раз). 5. Общий вид частного решения \(y_ч\) в этом случае определяется формулой: \[y_ч = x^k Q_n(x) e^{\alpha x}\] где \(k\) - кратность корня \(\alpha\) в характеристическом уравнении, \(Q_n(x)\) - многочлен той же степени, что и \(P_n(x)\), но с неопределенными коэффициентами. В нашем случае: \(k = 1\) (поскольку \(\alpha = 2\) является корнем кратности 1) \(Q_n(x)\) - многочлен первой степени, то есть \(Ax+B\). \(\alpha = 2\) Подставляем эти значения в формулу: \[y_ч = x^1 (Ax+B) e^{2x}\] \[y_ч = x(Ax+B)e^{2x}\] 6. Сравниваем полученный вид с предложенными вариантами: 1) \(y_ч = c_1e^{2x} + c_2e^{4x}\) - это общее решение однородного уравнения, а не частное решение неоднородного. 2) \(y_ч = Ax^2+Bx+C\) - это вид частного решения, если \(\alpha=0\) и \(k=0\). 3) \(y_ч = Ax+B\) - это вид частного решения, если \(\alpha=0\) и \(k=0\), а правая часть - многочлен первой степени. 4) \(y_ч = A\) - это вид частного решения, если \(\alpha=0\) и \(k=0\), а правая часть - константа. 5) \(y_ч = x(Ax+B)e^{2x}\) - это совпадает с нашим результатом. 6) \(y_ч = x(Ax+B)\) - это вид частного решения, если \(\alpha=0\) и \(k=1\), а правая часть - многочлен первой степени. Таким образом, правильный вариант ответа - 5. Ответ: \[y_ч = x(Ax+B)e^{2x}\]