Задача: Для крепления 15-метровой мачты AB на двухпарусной яхте нужно установить два троса: AD и EC. Верхний конец троса AD крепится на верхушке мачты, а на 3 м ниже крепится трос EC. Нижние концы тросов крепятся на расстоянии BD = 8 м и BC = 5 м от мачты соответственно. Хватит ли 25 м троса для крепления мачты?
Решение:
1. Мачта AB перпендикулярна поверхности, на которой крепятся тросы. Это означает, что у нас есть два прямоугольных треугольника: ABD и EBC.
2. Рассмотрим трос AD:
a. Трос AD крепится на верхушке мачты, то есть в точке A. Длина мачты \(AB = 15\) м.
b. Нижний конец троса AD крепится на расстоянии \(BD = 8\) м от мачты.
c. Треугольник ABD — прямоугольный, с прямым углом при вершине B.
d. Для нахождения длины троса AD воспользуемся теоремой Пифагора: \(AD^2 = AB^2 + BD^2\).
e. Подставим известные значения:
\[AD^2 = 15^2 + 8^2\] \[AD^2 = 225 + 64\] \[AD^2 = 289\]f. Извлечем квадратный корень:
\[AD = \sqrt{289}\] \[AD = 17 \text{ м}\]3. Рассмотрим трос EC:
a. Трос EC крепится на 3 м ниже верхушки мачты. Значит, точка E находится на мачте AB. Длина отрезка \(AE = 3\) м.
b. Длина отрезка EB будет равна \(AB - AE\).
\[EB = 15 - 3 = 12 \text{ м}\]c. Нижний конец троса EC крепится на расстоянии \(BC = 5\) м от мачты.
d. Треугольник EBC — прямоугольный, с прямым углом при вершине B.
e. Для нахождения длины троса EC воспользуемся теоремой Пифагора: \(EC^2 = EB^2 + BC^2\).
f. Подставим известные значения:
\[EC^2 = 12^2 + 5^2\] \[EC^2 = 144 + 25\] \[EC^2 = 169\]g. Извлечем квадратный корень:
\[EC = \sqrt{169}\] \[EC = 13 \text{ м}\]4. Найдем общую длину троса, необходимую для крепления мачты:
Общая длина \(L = AD + EC\).
\[L = 17 + 13\] \[L = 30 \text{ м}\]5. Сравним необходимую длину троса с имеющейся:
Нам дано 25 м троса. Необходимая длина составляет 30 м.
Так как \(30 \text{ м} > 25 \text{ м}\), то 25 м троса не хватит.
Ответ: Не хватит