Решение задачи №1: Сложение дробей с координатным лучом

Вот решения задач из контрольной работы. Контрольная работа № 8 Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями Вариант 3 1. Отметь на координатном луче точки с координатами \(A\left(\frac{3}{8}\right)\), \(B\left(1\frac{5}{8}\right)\), \(C\left(2\frac{1}{8}\right)\). Единичный отрезок 4 см. Решение: Для того чтобы отметить точки на координатном луче, нужно определить их положение. Единичный отрезок равен 4 см. Значит, 1 см на луче соответствует \(\frac{1}{4}\) единичного отрезка. Точка A имеет координату \(\frac{3}{8}\). Чтобы найти расстояние от начала отсчета до точки A, нужно умножить координату на длину единичного отрезка: Расстояние до A = \(\frac{3}{8} \cdot 4\) см = \(\frac{12}{8}\) см = \(\frac{3}{2}\) см = 1,5 см. Точка B имеет координату \(1\frac{5}{8}\). Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(1\frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{8 + 5}{8} = \frac{13}{8}\). Расстояние до B = \(\frac{13}{8} \cdot 4\) см = \(\frac{52}{8}\) см = \(\frac{13}{2}\) см = 6,5 см. Точка C имеет координату \(2\frac{1}{8}\). Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(2\frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{16 + 1}{8} = \frac{17}{8}\). Расстояние до C = \(\frac{17}{8} \cdot 4\) см = \(\frac{68}{8}\) см = \(\frac{17}{2}\) см = 8,5 см. Начертите координатный луч, отметьте начало отсчета (0). Отложите от начала отсчета: 1,5 см для точки A. 6,5 см для точки B. 8,5 см для точки C. 2. Вычисли: 1) \(\frac{5}{8} + \frac{2}{8}\) Решение: \(\frac{5}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5+2}{8} = \frac{7}{8}\) 2) \(\frac{5}{8} - \frac{2}{8}\) Решение: \(\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5-2}{8} = \frac{3}{8}\) 3) \(2\frac{2}{4} + 4\) Решение: \(2\frac{2}{4} + 4 = (2+4) + \frac{2}{4} = 6 + \frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}\) (Можно сократить дробь \(\frac{2}{4}\) до \(\frac{1}{2}\)) 4) \(6 - 1\frac{7}{11}\) Решение: \(6 - 1\frac{7}{11} = 5\frac{11}{11} - 1\frac{7}{11} = (5-1) + \left(\frac{11}{11} - \frac{7}{11}\right) = 4 + \frac{4}{11} = 4\frac{4}{11}\) 5) \(8\frac{3}{7} - 6\frac{2}{7}\) Решение: \(8\frac{3}{7} - 6\frac{2}{7} = (8-6) + \left(\frac{3}{7} - \frac{2}{7}\right) = 2 + \frac{1}{7} = 2\frac{1}{7}\) 6) \(4 : 13\) Решение: \(4 : 13 = \frac{4}{13}\) 7) \(13 : 4\) Решение: \(13 : 4 = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}\) 8) \(\frac{5}{10} + \frac{7}{10}\) Решение: \(\frac{5}{10} + \frac{7}{10} = \frac{5+7}{10} = \frac{12}{10} = 1\frac{2}{10} = 1\frac{1}{5}\) (Можно сократить дробь \(\frac{2}{10}\) до \(\frac{1}{5}\)) 9) \(10\frac{4}{9} - 5\frac{6}{9}\) Решение: \(10\frac{4}{9} - 5\frac{6}{9}\) Так как \(\frac{4}{9} < \frac{6}{9}\), нужно "занять" единицу у целой части: \(10\frac{4}{9} = 9 + 1 + \frac{4}{9} = 9 + \frac{9}{9} + \frac{4}{9} = 9\frac{13}{9}\) Теперь вычитаем: \(9\frac{13}{9} - 5\frac{6}{9} = (9-5) + \left(\frac{13}{9} - \frac{6}{9}\right) = 4 + \frac{7}{9} = 4\frac{7}{9}\) 3. 1) Преобразуй неправильную дробь \(\frac{30}{7}\) в смешанное число. Решение: Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, нужно разделить числитель на знаменатель. \(30 \div 7\) \(30 = 4 \cdot 7 + 2\) Значит, целая часть равна 4, а остаток равен 2. \(\frac{30}{7} = 4\frac{2}{7}\) 2) Преобразуй смешанное число \(5\frac{5}{7}\) в неправильную дробь. Решение: Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно умножить целую часть на знаменатель и прибавить числитель, полученное число записать в числитель, а знаменатель оставить прежним. \(5\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{35 + 5}{7} = \frac{40}{7}\) 4. Запиши все натуральные значения \(x\), при которых верно неравенство: \(2\frac{5}{7} < x < 5\frac{3}{10}\) Решение: Сначала переведем смешанные числа в десятичные дроби или оценим их значения. \(2\frac{5}{7}\) \(\frac{5}{7} \approx 0,714\) Значит, \(2\frac{5}{7} \approx 2,714\) \(5\frac{3}{10} = 5,3\) Теперь неравенство выглядит так: \(2,714 < x < 5,3\) Натуральные числа - это числа, используемые при счете: 1, 2, 3, 4, 5, ... Нам нужно найти натуральные числа, которые больше 2,714 и меньше 5,3. Такими числами являются 3, 4, 5. Ответ: \(x = 3, 4, 5\). 5. Реши уравнение: \(x - 8\frac{7}{12} = 5\frac{8}{12}\) Решение: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое \(x\), нужно к вычитаемому прибавить разность. \(x = 5\frac{8}{12} + 8\frac{7}{12}\) Сложим целые части и дробные части отдельно: \(x = (5+8) + \left(\frac{8}{12} + \frac{7}{12}\right)\) \(x = 13 + \frac{8+7}{12}\) \(x = 13 + \frac{15}{12}\) Неправильную дробь \(\frac{15}{12}\) переведем в смешанное число: \(\frac{15}{12} = 1\frac{3}{12}\) (Можно сократить дробь \(\frac{3}{12}\) до \(\frac{1}{4}\)) Значит, \(\frac{15}{12} = 1\frac{1}{4}\) Подставим это значение обратно в уравнение: \(x = 13 + 1\frac{1}{4}\) \(x = 14\frac{1}{4}\) Проверка: \(14\frac{1}{4} - 8\frac{7}{12}\) Приведем дроби к общему знаменателю 12: \(14\frac{3}{12} - 8\frac{7}{12}\) Так как \(\frac{3}{12} < \frac{7}{12}\), "займем" единицу у целой части: \(13\frac{12+3}{12} - 8\frac{7}{12} = 13\frac{15}{12} - 8\frac{7}{12}\) \((13-8) + \left(\frac{15}{12} - \frac{7}{12}\right) = 5 + \frac{8}{12} = 5\frac{8}{12}\) Верно. Ответ: \(x = 14\frac{1}{4}\). 6. Найди значение выражения: \(3 + (a + b)\), если \(a = \frac{11}{12}\); \(b = \frac{7}{12}\) Решение: Сначала найдем сумму \(a+b\): \(a+b = \frac{11}{12} + \frac{7}{12} = \frac{11+7}{12} = \frac{18}{12}\) Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{18}{12} = 1\frac{6}{12}\) Сократим дробь \(\frac{6}{12}\) до \(\frac{1}{2}\): \(1\frac{6}{12} = 1\frac{1}{2}\) Теперь подставим это значение в исходное выражение: \(3 + (a+b) = 3 + 1\frac{1}{2}\) \(3 + 1\frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}\) Ответ: \(4\frac{1}{2}\). 7. Туристы, возвращаясь из путешествия, ехали на автобусе \(1\frac{5}{7}\) ч, \(5\frac{6}{7}\) ч летели на самолете и остальное время ехали в такси. Весь путь занял \(9\frac{2}{7}\) ч. Сколько времени заняла поездка в такси? Решение: Обозначим время, проведенное в пути: Время на автобусе = \(1\frac{5}{7}\) ч Время на самолете = \(5\frac{6}{7}\) ч Общее время в пути = \(9\frac{2}{7}\) ч Время в такси = ? Сначала найдем общее время, проведенное на автобусе и самолете: \(1\frac{5}{7} + 5\frac{6}{7} = (1+5) + \left(\frac{5}{7} + \frac{6}{7}\right) = 6 + \frac{5+6}{7} = 6 + \frac{11}{7}\) Преобразуем неправильную дробь \(\frac{11}{7}\) в смешанное число: \(\frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}\) Теперь сложим: \(6 + 1\frac{4}{7} = 7\frac{4}{7}\) ч - это время, проведенное на автобусе и самолете. Теперь, чтобы найти время, проведенное в такси, нужно из общего времени вычесть время, проведенное на автобусе и самолете: Время в такси = Общее время - (Время на автобусе + Время на самолете) Время в такси = \(9\frac{2}{7} - 7\frac{4}{7}\) Так как \(\frac{2}{7} < \frac{4}{7}\), нужно "занять" единицу у целой части: \(9\frac{2}{7} = 8 + 1 + \frac{2}{7} = 8 + \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 8\frac{9}{7}\) Теперь вычитаем: \(8\frac{9}{7} - 7\frac{4}{7} = (8-7) + \left(\frac{9}{7} - \frac{4}{7}\right) = 1 + \frac{5}{7} = 1\frac{5}{7}\) ч. Ответ: Поездка в такси заняла \(1\frac{5}{7}\) часа.