Задача: Расставьте границы интегрирования для двойного интеграла по области, изображенной на рисунке. Интеграл имеет вид:
\[ \int_{?}^{?} dx \int_{?}^{?} dy \]Решение:
На рисунке изображена область интегрирования. Нам нужно определить границы для внешнего интеграла по \(x\) и для внутреннего интеграла по \(y\).
1. Определяем границы для внутреннего интеграла по \(y\):
Внутренний интеграл берется по \(dy\), это означает, что мы должны выразить \(y\) через \(x\). Для каждой точки \(x\) в области интегрирования, \(y\) изменяется от нижней границы до верхней границы.
На рисунке область ограничена двумя кривыми:
- Парабола: \(y^2 = 4 - x\). Из этого уравнения можно выразить \(y\): \(y = \pm \sqrt{4 - x}\).
- Прямая: \(x + 2y - 4 = 0\). Из этого уравнения можно выразить \(y\): \(2y = 4 - x \Rightarrow y = 2 - \frac{x}{2}\).
Рассмотрим область интегрирования. Для заданного порядка интегрирования \(dy dx\), мы проводим вертикальные линии через область. Нижняя граница \(y\) для каждой такой линии определяется прямой, а верхняя граница \(y\) определяется параболой.
- Нижняя граница \(y\): \(y = 2 - \frac{x}{2}\).
- Верхняя граница \(y\): \(y = \sqrt{4 - x}\) (поскольку область находится выше оси \(x\) для этой части параболы).
Таким образом, границы для внутреннего интеграла по \(y\) будут:
Нижняя граница: \(2 - \frac{x}{2}\)
Верхняя граница: \(\sqrt{4 - x}\)
2. Определяем границы для внешнего интеграла по \(x\):
Внешний интеграл берется по \(dx\). Это означает, что мы должны найти минимальное и максимальное значения \(x\) в области интегрирования.
Область интегрирования начинается от точки пересечения прямой и параболы и заканчивается в точке, где парабола пересекает ось \(x\).
Найдем точки пересечения прямой \(y = 2 - \frac{x}{2}\) и параболы \(y = \sqrt{4 - x}\).
Приравняем выражения для \(y\):
\[ 2 - \frac{x}{2} = \sqrt{4 - x} \]Возведем обе части в квадрат:
\[ \left(2 - \frac{x}{2}\right)^2 = (\sqrt{4 - x})^2 \] \[ 4 - 2x + \frac{x^2}{4} = 4 - x \] \[ -2x + \frac{x^2}{4} = -x \] \[ \frac{x^2}{4} - x = 0 \] \[ x\left(\frac{x}{4} - 1\right) = 0 \]Отсюда получаем два значения для \(x\):
\[ x_1 = 0 \] \[ \frac{x}{4} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{x}{4} = 1 \Rightarrow x_2 = 4 \]Проверим эти значения в исходном уравнении, так как возведение в квадрат может привести к посторонним корням.
Для \(x = 0\):
\(2 - \frac{0}{2} = 2\)
\(\sqrt{4 - 0} = \sqrt{4} = 2\)
Значения совпадают, значит \(x = 0\) - это точка пересечения. Соответствующее значение \(y = 2\).
Для \(x = 4\):
\(2 - \frac{4}{2} = 2 - 2 = 0\)
\(\sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} = 0\)
Значения совпадают, значит \(x = 4\) - это точка пересечения. Соответствующее значение \(y = 0\).
На рисунке видно, что область интегрирования начинается от \(x = 0\) и заканчивается в \(x = 4\).
Таким образом, границы для внешнего интеграла по \(x\) будут:
Нижняя граница: \(0\)
Верхняя граница: \(4\)
3. Сопоставление с вариантами ответов:
Границы для внутреннего интеграла по \(y\):
Нижняя граница: \(2 - \frac{x}{2}\) (соответствует варианту 7)
Верхняя граница: \(\sqrt{4 - x}\) (соответствует варианту 4)
Границы для внешнего интеграла по \(x\):
Нижняя граница: \(0\) (соответствует варианту 10)
Верхняя граница: \(4\) (соответствует варианту 11)
В задании просят ввести номера ответов через пробел, сначала нижнюю, потом верхнюю границы. Для \(dx\): нижняя 10, верхняя 11. Для \(dy\): нижняя 7, верхняя 4.
Порядок ввода: сначала нижнюю, потом верхнюю границы. Для \(dx\): 10 11 Для \(dy\): 7 4
Окончательный ответ должен быть в формате: нижняя граница \(dx\), верхняя граница \(dx\), нижняя граница \(dy\), верхняя граница \(dy\).
Ответ: 10 11 7 4