Задача: Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 24 см, BC = 16 см, \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle D = 90^\circ\).
Решение:
1. Нарисуем трапецию ABCD. Основания AD и BC параллельны. Угол D прямой (\(90^\circ\)), что означает, что сторона CD является высотой трапеции.
2. Формула для площади трапеции: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\), где \(a\) и \(b\) — длины оснований, а \(h\) — высота.
3. В нашей трапеции: \(a = AD = 24\) см, \(b = BC = 16\) см. Нам нужно найти высоту \(h\).
4. Проведем высоту из вершины B к основанию AD. Обозначим точку пересечения как H. Тогда BH будет высотой трапеции, и \(BH = CD\).
5. Рассмотрим прямоугольник HBC D. В нем \(BC = HD = 16\) см.
6. Найдем длину отрезка AH:
\[AH = AD - HD\] \[AH = 24 - 16\] \[AH = 8 \text{ см}\]7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол A равен \(45^\circ\), а угол AHB равен \(90^\circ\).
8. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Найдем угол ABH:
\[\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\]9. Так как в треугольнике ABH углы \(\angle A\) и \(\angle ABH\) равны \(45^\circ\), то этот треугольник является равнобедренным. Значит, катеты AH и BH равны.
10. Мы нашли, что \(AH = 8\) см. Следовательно, высота трапеции \(BH = 8\) см.
11. Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления площади трапеции:
\(a = 24\) см
\(b = 16\) см
\(h = 8\) см
12. Подставим эти значения в формулу площади:
\[S = \frac{24 + 16}{2} \cdot 8\] \[S = \frac{40}{2} \cdot 8\] \[S = 20 \cdot 8\] \[S = 160 \text{ см}^2\]Ответ: 160