Решение задач из контрольной работы. Вариант 1

Вот решение задач из контрольной работы. Контрольные работы Вариант 1 1. Сократите дробь: а) \[ \frac{14a^4b}{49a^3b^2} \] Решение: Разложим числа на множители и сократим степени переменных. \[ \frac{14a^4b}{49a^3b^2} = \frac{2 \cdot 7 \cdot a^3 \cdot a \cdot b}{7 \cdot 7 \cdot a^3 \cdot b \cdot b} \] Сокращаем общие множители \(7\), \(a^3\), \(b\): \[ = \frac{2a}{7b} \] Ответ: \[ \frac{2a}{7b} \] б) \[ \frac{3x}{x^2+4x} \] Решение: Вынесем общий множитель \(x\) из знаменателя: \[ \frac{3x}{x^2+4x} = \frac{3x}{x(x+4)} \] Сокращаем \(x\): \[ = \frac{3}{x+4} \] Ответ: \[ \frac{3}{x+4} \] в) \[ \frac{y^2-z^2}{2y+2z} \] Решение: Используем формулу разности квадратов \(y^2-z^2 = (y-z)(y+z)\) в числителе. Вынесем общий множитель \(2\) из знаменателя: \[ \frac{y^2-z^2}{2y+2z} = \frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)} \] Сокращаем \((y+z)\): \[ = \frac{y-z}{2} \] Ответ: \[ \frac{y-z}{2} \] 2. Представьте в виде дроби: а) \[ \frac{3x-1}{x^2} + \frac{x-9}{3x} \] Решение: Найдем общий знаменатель, который равен \(3x^2\). Домножим первую дробь на \(3\), а вторую на \(x\): \[ \frac{3(3x-1)}{3x^2} + \frac{x(x-9)}{3x^2} \] \[ = \frac{9x-3 + x^2-9x}{3x^2} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{x^2-3}{3x^2} \] Ответ: \[ \frac{x^2-3}{3x^2} \] б) \[ \frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b} \] Решение: Общий знаменатель равен \((2a-b)(2a+b)\). Домножим первую дробь на \((2a+b)\), а вторую на \((2a-b)\): \[ \frac{1 \cdot (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1 \cdot (2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} \] \[ = \frac{2a+b - (2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} \] Раскроем скобки в числителе, не забывая менять знаки: \[ = \frac{2a+b - 2a+b}{(2a-b)(2a+b)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{2b}{(2a-b)(2a+b)} \] Можно также записать знаменатель как разность квадратов: \[ = \frac{2b}{4a^2-b^2} \] Ответ: \[ \frac{2b}{4a^2-b^2} \] в) \[ \frac{5}{c+3} - \frac{5c-2}{c^2+3c} \] Решение: Разложим знаменатель второй дроби на множители: \(c^2+3c = c(c+3)\). Тогда общий знаменатель будет \(c(c+3)\). Домножим первую дробь на \(c\): \[ \frac{5c}{c(c+3)} - \frac{5c-2}{c(c+3)} \] \[ = \frac{5c - (5c-2)}{c(c+3)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ = \frac{5c - 5c + 2}{c(c+3)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{2}{c(c+3)} \] Ответ: \[ \frac{2}{c(c+3)} \] 3. Найдите значение выражения \[ \frac{a^2-b}{a} - a \] при \(a=0,2\), \(b=-5\). Решение: Сначала упростим выражение: \[ \frac{a^2-b}{a} - a = \frac{a^2-b}{a} - \frac{a \cdot a}{a} \] \[ = \frac{a^2-b - a^2}{a} \] \[ = \frac{-b}{a} \] Теперь подставим значения \(a=0,2\) и \(b=-5\): \[ \frac{-(-5)}{0,2} = \frac{5}{0,2} \] Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(10\): \[ = \frac{5 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{50}{2} \] \[ = 25 \] Ответ: \(25\) 4. Упростите выражение: \[ \frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{x^2-9} - \frac{2}{x} \] Решение: Разложим знаменатель второй дроби на множители: \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\). Тогда выражение примет вид: \[ \frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{(x-3)(x+3)} - \frac{2}{x} \] Общий знаменатель для всех трех дробей будет \(x(x-3)(x+3)\). Домножим каждую дробь на недостающие множители: Первая дробь: \( \frac{3 \cdot x(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{3x(x+3)}{x(x-3)(x+3)} \) Вторая дробь: \( \frac{(x+15) \cdot x}{x(x-3)(x+3)} = \frac{x(x+15)}{x(x-3)(x+3)} \) Третья дробь: \( \frac{2 \cdot (x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{2(x^2-9)}{x(x-3)(x+3)} \) Теперь объединим все дроби под общим знаменателем: \[ \frac{3x(x+3) - x(x+15) - 2(x^2-9)}{x(x-3)(x+3)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{3x^2+9x - (x^2+15x) - (2x^2-18)}{x(x-3)(x+3)} \] \[ = \frac{3x^2+9x - x^2-15x - 2x^2+18}{x(x-3)(x+3)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: Слагаемые с \(x^2\): \(3x^2 - x^2 - 2x^2 = (3-1-2)x^2 = 0x^2 = 0\) Слагаемые с \(x\): \(9x - 15x = -6x\) Свободные члены: \(18\) Таким образом, числитель равен \(-6x+18\). \[ = \frac{-6x+18}{x(x-3)(x+3)} \] Вынесем общий множитель \(-6\) из числителя: \[ = \frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)} \] Сократим \((x-3)\): \[ = \frac{-6}{x(x+3)} \] Ответ: \[ \frac{-6}{x(x+3)} \]