Решение задачи по теореме косинусов

Теорема косинусов

Для треугольника \(ABC\), в котором \(AC = b\), \(BC = a\), \(AB = c\), отметьте верное равенство.

Для решения этой задачи нам нужно вспомнить теорему косинусов. Теорема косинусов устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусом одного из его углов.

Формулировка теоремы косинусов:

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника \(ABC\) со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) и углами \(A\), \(B\), \(C\) (или \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) как на рисунке) теорема косинусов может быть записана в трёх вариантах:

1. Для стороны \(a\) (лежащей напротив угла \(A\)): \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\]
2. Для стороны \(b\) (лежащей напротив угла \(B\)): \[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\]
3. Для стороны \(c\) (лежащей напротив угла \(C\)): \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\]

Теперь рассмотрим предложенные варианты и сравним их с формулами теоремы косинусов:

1. \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A\)
2. \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos A\)
3. \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B\)
4. \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)

Проанализируем каждый вариант:

1. \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A\)

   Эта формула утверждает, что квадрат стороны \(b\) равен сумме квадратов сторон \(a\) и \(c\) минус удвоенное произведение \(a\) и \(c\) на косинус угла \(A\). Однако, по теореме косинусов, если мы ищем \(b^2\), то в формуле должен быть косинус угла, лежащего напротив стороны \(b\), то есть угла \(B\). Таким образом, правильная формула для \(b^2\) выглядит как \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\). Этот вариант неверный.

2. \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos A\)

   Эта формула утверждает, что квадрат стороны \(c\) равен сумме квадратов сторон \(a\) и \(b\) минус удвоенное произведение \(a\) и \(b\) на косинус угла \(A\). По теореме косинусов, если мы ищем \(c^2\), то в формуле должен быть косинус угла, лежащего напротив стороны \(c\), то есть угла \(C\). Таким образом, правильная формула для \(c^2\) выглядит как \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\). Этот вариант неверный.

3. \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B\)

   Эта формула утверждает, что квадрат стороны \(c\) равен сумме квадратов сторон \(a\) и \(b\) минус удвоенное произведение \(a\) и \(b\) на косинус угла \(B\). По теореме косинусов, если мы ищем \(c^2\), то в формуле должен быть косинус угла, лежащего напротив стороны \(c\), то есть угла \(C\). Этот вариант неверный.

4. \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)

   Эта формула утверждает, что квадрат стороны \(a\) равен сумме квадратов сторон \(b\) и \(c\) минус удвоенное произведение \(b\) и \(c\) на косинус угла \(A\). Это полностью соответствует первой формулировке теоремы косинусов, где \(a\) – сторона, а \(A\) – угол, лежащий напротив этой стороны. Этот вариант верный.

Ответ:

Верное равенство: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\]