Задача 2. Вводная. Теорема косинусов: поиск стороны.
В треугольнике \(ABC\) \(AB = 20\) см, \(AC = 18\) см, \(\cos \angle A = 0,65\).
Найдите сторону \(BC\). Ответ дайте в сантиметрах.
Дано:
- Треугольник \(ABC\)
- Сторона \(AB = c = 20\) см
- Сторона \(AC = b = 18\) см
- Косинус угла \(A\): \(\cos \angle A = 0,65\)
Найти:
- Сторону \(BC = a\)
Решение:
Для нахождения стороны \(BC\) (которую мы обозначим как \(a\)) в треугольнике \(ABC\), зная две другие стороны \(AB\) (\(c\)) и \(AC\) (\(b\)) и косинус угла между ними (\(\angle A\)), мы можем использовать теорему косинусов.
Теорема косинусов гласит:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
В нашем случае, для стороны \(a\) (сторона \(BC\)), формула теоремы косинусов будет выглядеть так:
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\]Подставим известные значения в формулу:
- \(b = AC = 18\) см
- \(c = AB = 20\) см
- \(\cos A = 0,65\)
Вычислим квадраты сторон:
\[18^2 = 18 \cdot 18 = 324\] \[20^2 = 20 \cdot 20 = 400\]Теперь подставим эти значения обратно в формулу:
\[a^2 = 324 + 400 - 2 \cdot 18 \cdot 20 \cdot 0,65\]Вычислим произведение \(2 \cdot 18 \cdot 20 \cdot 0,65\):
\[2 \cdot 18 = 36\] \[36 \cdot 20 = 720\] \[720 \cdot 0,65\]Для удобства умножим \(720\) на \(0,65\):
\[720 \cdot 0,65 = 720 \cdot \frac{65}{100} = 72 \cdot \frac{65}{10} = \frac{4680}{10} = 468\]Теперь подставим это значение обратно в формулу для \(a^2\):
\[a^2 = 324 + 400 - 468\] \[a^2 = 724 - 468\] \[a^2 = 256\]Чтобы найти \(a\), нужно извлечь квадратный корень из \(256\):
\[a = \sqrt{256}\] \[a = 16\]Таким образом, длина стороны \(BC\) равна \(16\) см.
Ответ: \(16\)