Задача: В трапеции ABCD с меньшим основанием BC = 8 через точку B проведена прямая, параллельная CD, пересекающая AD в точке B1. Известно, что периметр треугольника ABB1 равен 18. Найдите периметр трапеции.
Решение:
1. Нарисуем трапецию ABCD. Основания AD и BC параллельны.
2. Через точку B проведена прямая BB1, параллельная стороне CD. Точка B1 лежит на основании AD.
3. Рассмотрим четырехугольник BCD B1. У него стороны BC и B1D параллельны (так как BC и AD — основания трапеции). Также стороны BB1 и CD параллельны (по условию).
4. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то это параллелограмм. Значит, BCD B1 — параллелограмм.
5. В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно:
\(BB_1 = CD\)
\(BC = B_1D\)
6. Нам дано, что меньшее основание \(BC = 8\). Значит, \(B_1D = 8\).
7. Рассмотрим треугольник ABB1. Его периметр равен 18. Периметр треугольника — это сумма длин его сторон:
\[P_{ABB_1} = AB + BB_1 + AB_1 = 18\]8. Теперь запишем формулу периметра трапеции ABCD:
\[P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\]9. Мы знаем, что \(CD = BB_1\). Подставим это в формулу периметра трапеции:
\[P_{ABCD} = AB + BC + BB_1 + AD\]10. Основание AD можно представить как сумму отрезков \(AB_1 + B_1D\):
\[AD = AB_1 + B_1D\]11. Подставим это выражение для AD в формулу периметра трапеции:
\[P_{ABCD} = AB + BC + BB_1 + (AB_1 + B_1D)\]12. Перегруппируем слагаемые:
\[P_{ABCD} = (AB + BB_1 + AB_1) + BC + B_1D\]13. Заметим, что выражение в скобках \((AB + BB_1 + AB_1)\) — это периметр треугольника ABB1, который равен 18.
\[P_{ABCD} = P_{ABB_1} + BC + B_1D\]14. Подставим известные значения: \(P_{ABB_1} = 18\), \(BC = 8\), \(B_1D = 8\).
\[P_{ABCD} = 18 + 8 + 8\] \[P_{ABCD} = 18 + 16\] \[P_{ABCD} = 34\]Ответ: 34