Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику:
Задача 3. Лёгкая
Теорема косинусов: поиск угла
Стороны треугольника равны \(AB = 12\) см, \(BC = 20\) см и \(AC = 28\) см.
Найдите \(\angle B\).
Решение:
Для нахождения угла в треугольнике, зная длины всех трёх сторон, мы можем использовать теорему косинусов.
Теорема косинусов гласит, что для любого треугольника со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) и углом \(\gamma\) напротив стороны \(c\), справедливо следующее равенство:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)\]В нашей задаче нам нужно найти угол \(\angle B\). Сторона, лежащая напротив угла \(\angle B\), это сторона \(AC\). Стороны, образующие угол \(\angle B\), это \(AB\) и \(BC\).
Перепишем теорему косинусов для нашего случая:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)\]Теперь подставим известные значения сторон:
\(AC = 28\) см
\(AB = 12\) см
\(BC = 20\) см
Получаем:
\[28^2 = 12^2 + 20^2 - 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \cos(\angle B)\]Вычислим квадраты чисел:
\(28^2 = 784\)
\(12^2 = 144\)
\(20^2 = 400\)
Подставим эти значения в уравнение:
\[784 = 144 + 400 - 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \cos(\angle B)\]Сложим \(144\) и \(400\):
\[784 = 544 - 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \cos(\angle B)\]Вычислим произведение \(2 \cdot 12 \cdot 20\):
\(2 \cdot 12 \cdot 20 = 24 \cdot 20 = 480\)
Теперь уравнение выглядит так:
\[784 = 544 - 480 \cdot \cos(\angle B)\]Чтобы найти \(\cos(\angle B)\), перенесём \(544\) в левую часть уравнения:
\[784 - 544 = -480 \cdot \cos(\angle B)\]Вычислим разность:
\[240 = -480 \cdot \cos(\angle B)\]Теперь выразим \(\cos(\angle B)\):
\[\cos(\angle B) = \frac{240}{-480}\]Упростим дробь:
\[\cos(\angle B) = -\frac{240}{480} = -\frac{1}{2}\]Мы знаем, что \(\cos(\angle B) = -\frac{1}{2}\). Чтобы найти сам угол \(\angle B\), нужно воспользоваться арккосинусом.
Угол, косинус которого равен \(-\frac{1}{2}\), это \(120^\circ\).
\[\angle B = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\] \[\angle B = 120^\circ\]Ответ:
Угол \(\angle B\) равен \(120\).
```