Решение задачи на подобие треугольников

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1) Задача на подобие треугольников. Дано: Треугольник \( \triangle ABC \) подобен треугольнику \( \triangle A_1B_1C_1 \). \( \angle A = \angle A_1 \) \( \angle B = \angle B_1 \) \( A_1B_1 = 4 \) \( B_1C_1 = 3 \) \( C_1A_1 = 2 \) \( AB = 12 \) Найти: \( BC \) и \( CA \). Решение: Поскольку треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия \( k \). Соответствующие стороны: \( AB \) соответствует \( A_1B_1 \) \( BC \) соответствует \( B_1C_1 \) \( CA \) соответствует \( C_1A_1 \) Найдем коэффициент подобия \( k \): \( k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{4} = 3 \) Теперь мы можем найти длины сторон \( BC \) и \( CA \), используя этот коэффициент подобия. Для стороны \( BC \): \( \frac{BC}{B_1C_1} = k \) \( \frac{BC}{3} = 3 \) \( BC = 3 \cdot 3 \) \( BC = 9 \) Для стороны \( CA \): \( \frac{CA}{C_1A_1} = k \) \( \frac{CA}{2} = 3 \) \( CA = 3 \cdot 2 \) \( CA = 6 \) Ответ: \( BC = 9 \), \( CA = 6 \). 2) Задача на подобие прямоугольных треугольников. Дано: На рисунке изображены два прямоугольных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle FDC \). \( \angle A = 90^\circ \) \( \angle D = 90^\circ \) \( AB = 1 \) \( AC = 3 \) \( CD = 2 \) \( FD = x \) Найти: \( x \). Решение: Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle FDC \). Угол \( \angle ACB \) и угол \( \angle FCD \) являются вертикальными углами, поэтому они равны: \( \angle ACB = \angle FCD \). Так как \( \angle A = 90^\circ \) и \( \angle D = 90^\circ \), и \( \angle ACB = \angle FCD \), то треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle FDC \) подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). Запишем отношение соответствующих сторон: \( \frac{AB}{FD} = \frac{AC}{CD} \) Подставим известные значения: \( \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \) Чтобы найти \( x \), перемножим крест-на-крест: \( 1 \cdot 2 = x \cdot 3 \) \( 2 = 3x \) \( x = \frac{2}{3} \) Ответ: \( x = \frac{2}{3} \). 3) Задача на площадь трапеции или составной фигуры. Дано: На рисунке изображена фигура, которую можно разбить на прямоугольник и прямоугольный треугольник. Вершины обозначены как \( A, B, C, D \). Из вершины \( D \) опущен перпендикуляр на сторону \( AB \), пусть точка пересечения будет \( H \). Из вершины \( D \) опущен перпендикуляр на сторону \( BC \), пусть точка пересечения будет \( K \). \( AD = 50 \) \( DH = 40 \) (высота в треугольнике \( \triangle ADH \)) \( DC = 35 \) \( DK \) - высота, опущенная из \( D \) на \( BC \). Найти: \( FD \) (на рисунке обозначено как \( FD \), но, судя по контексту, это, скорее всего, \( DK \), то есть высота, опущенная из \( D \) на \( BC \)). Предположим, что нужно найти высоту \( DK \). Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ADH \). У нас есть гипотенуза \( AD = 50 \) и катет \( DH = 40 \). Мы можем найти катет \( AH \) по теореме Пифагора: \( AD^2 = AH^2 + DH^2 \) \( 50^2 = AH^2 + 40^2 \) \( 2500 = AH^2 + 1600 \) \( AH^2 = 2500 - 1600 \) \( AH^2 = 900 \) \( AH = \sqrt{900} \) \( AH = 30 \) Теперь рассмотрим фигуру \( ABCD \). Если это трапеция, то \( AB \) и \( DC \) - основания. Если \( AB \) параллельно \( DC \), то \( DH \) является высотой трапеции. Площадь трапеции \( S = \frac{(AB + DC)}{2} \cdot DH \). Однако, на рисунке \( DH \) - это высота, опущенная на \( AB \), а \( DK \) - высота, опущенная на \( BC \). Это означает, что \( ABCD \) - это четырехугольник, в котором \( DH \) и \( DK \) являются высотами, опущенными из вершины \( D \) на стороны \( AB \) и \( BC \) соответственно. Предположим, что \( ABCD \) - это параллелограмм или трапеция, но с учетом перпендикуляров, это скорее всего четырехугольник, где \( DH \) и \( DK \) - высоты. Если \( ABCD \) - это параллелограмм, то \( AD = BC = 50 \) и \( AB = DC = 35 \). Площадь параллелограмма можно найти как произведение стороны на высоту, опущенную на эту сторону. \( S = AB \cdot DH \) или \( S = BC \cdot DK \). Если \( ABCD \) - параллелограмм, то \( AB = DC = 35 \). Тогда площадь \( S = AB \cdot DH = 35 \cdot 40 = 1400 \). Также \( S = BC \cdot DK \). Поскольку \( BC = AD = 50 \), то: \( 1400 = 50 \cdot DK \) \( DK = \frac{1400}{50} \) \( DK = \frac{140}{5} \) \( DK = 28 \) Однако, на рисунке не указано, что \( ABCD \) - параллелограмм. Если это просто четырехугольник, то для нахождения \( DK \) нам нужно больше информации. Но, учитывая школьный курс геометрии, часто такие задачи подразумевают, что фигура является параллелограммом, если не указано иное, и есть две высоты из одной вершины. Давайте предположим, что \( ABCD \) - это параллелограмм. Тогда \( AB = DC = 35 \). Сторона \( AD = 50 \). Высота, опущенная на сторону \( AB \), равна \( DH = 40 \). Высота, опущенная на сторону \( BC \), равна \( DK \). Площадь параллелограмма \( S \) может быть вычислена двумя способами: \[ S = AB \cdot DH \] \[ S = BC \cdot DK \] Так как \( AB = 35 \) и \( DH = 40 \), то \[ S = 35 \cdot 40 = 1400 \] Так как \( BC = AD = 50 \) (в параллелограмме противоположные стороны равны), то \[ S = 50 \cdot DK \] Приравниваем площади: \[ 1400 = 50 \cdot DK \] \[ DK = \frac{1400}{50} \] \[ DK = 28 \] Если же это не параллелограмм, а просто четырехугольник, то задача не имеет однозначного решения с данными условиями. Но в школьной практике, если даны две высоты из одной вершины на две смежные стороны, это обычно указывает на параллелограмм. Ответ: \( DK = 28 \).